几年前，当“和平”号空间站准确溅落在南太平洋指定海域时，许多人松了一口气，但可能很少有人想到数学技术在这一事件中扮演的重要角色。当今我们面对的实际上是一个数据社会，生活中各种各样的数据应接不暇，一些伪科学正是利用数据搞欺诈。为此数学家呼吁，多向民众普及随机和概率一类的数学思想和观念非常必要。

　　加薪的学问

   数学思维的特点是准确。在美国广为流传的一道数学题目是：“老板给你两个加工资的方案。一是每年年末加一千；二是每半年结束时加300元。请选一种。一般不擅数学的，很容易选择前者：因为一年加一千元总比两个半年共加600元要多。其实，由于加工资是累计的，时间稍长，往往第二种方案更有利。例如，在第二年的年末，依第一种方案可以加得1000＋2000＝3000元。而第二种方案在第一年加得300＋600元，第二年加得900＋1200＝2100元，总数也是3000元。但到第三年，第一方案可得1000＋2000＋3000＝6000元，而第二方案则为300＋600＋900＋1200＋1500＋1800＝6300元，比第一方案多了300元。到第四年、第五年会更多。因此，你若会在该公司干三年以上，则应选择第二方案。

　　那么，第二方案中的每半年加300元改成200元如何？对不起，那就永远赶不上第一种方案得到的加薪数了。不信请做做看！明眼人一看便知，这是一道等差级数的好题目，中学生应该都会做。这一问题还可以做更细致的分析和推广。可惜的是，我们中学的数学教学还不大关注这类身边的数学。其实，学数学，就是要使人聪明，使人的思维会更加缜密。

　　太空的“比特胜利”

　　有一句名言是“数学是思维的体操”。其实，数学不仅是思想体操而已。数学思维具有无穷的威力，也有令人醉心的魅力。

　　2001年3月22日，俄罗斯“和平”号空间站准确地坠毁在南太平洋指定海域。在这场举世瞩目的行动中，有两门数学起着关键的作用：1948年仙农建立的数学信息论，以及1946年维纳开创的数学控制论。首先，这需要由地面远距离传送指令信息，这肯定要受到噪声的干扰。如何保证“和平”号上接收的指令完全正确，这需要用抗干扰的通信理论和数学滤波设计。至于如何指挥空间站上计算机启动阀门，调整飞行姿态，控制进入大气层的地点和速度，都必须准确地运用控制论技术。时至今日，宇航专家对这门数学控制技术的运用已经驾轻就熟，因而这次坠毁可说无惊无险。　　在“和平”号坠毁时，俄罗斯的地面指挥中心及其派往南太平洋的观测组，以及南太平洋周边地区的许多地面观测站都在工作。在这些观测活动中，离不开一项关键数学技术―――卡尔曼滤波。众所周知，由于受各种干扰的影响，地面观察到的飞船位置和真实的飞船位置会出现误差。1960年，美国数学家卡尔曼（R.Kalman）提出了一种数学方法，可以把随机出现的干扰“滤”掉，使地面监测的数据和真实的位置达到最佳吻合。这便是著名的卡尔曼滤波。1968年，美国阿波罗飞船登月，地面上四座雷达监控飞船的位置，并发出指令使阿波罗飞船软着陆，如果地面观测误差太大，控制飞船计算机调节指令出现失误，登月计划就将前功尽弃。卡尔曼滤波技术于是在登月航行中大显身手，经受了实践的检验。时至今日，任何航行（包括每一架喷气客机）都离不开卡尔曼滤波，“和平”号的坠落自然也不例外。卡尔曼滤波技术现在已推广到地震监测和经济趋势的监控。是的，我们虽然看不见数学技术的巨大威力，却无时无刻不在享受它的恩惠。

　　考证《红楼梦》作者

　　数学思维的价值在于创意。复旦大学数学系李贤平教授关于红楼梦作者的工作一直引起我的关注。自从胡适作《红楼梦考证》以来，都认为曹雪芹作前80回，后40回为高鹗所续。《红楼梦》的作者是谁，当然由红学家来考证。但是我们是否可以用数学方法进行研究，并得出一些新的结果来？1987年，李贤平教授做了。一般认为，每个人使用某些词的习惯是特有的。于是李教授用陈大康先生对每个回目所用的47个虚字（之，其，或，亦……，呀，吗，咧，罢……；的，着，是，在，……；可，便，就，但，……，儿等）出现的次数（频率），作为《红楼梦》各个回目的数字标志，然后用数学方法进行比较分析，看看哪些回目出自同一人的手笔。最后李教授得出了许多新结果：

　　前80回与后40回之间有交叉。

　　前80回是曹雪芹据《石头记》写成，中间插入《风月宝鉴》，还有一些别的增加成分。

　　后40回是曹雪芹亲友将曹雪芹的草稿整理而成，宝黛故事为一人所写，贾府衰败情景当为另一人所写。

　　李教授论文中的结论还很多，不及备述。奇怪的是，这一花了很大力气得到的研究成果（在美国威斯康星大学计算机上进行了大量计算），却很少引起国内红学界、新闻界以至数学界的重视。我们常说要鼓励文理兼通，鼓励新的创意，但到了事实面前，却又囿于常规，不能给予大力支持。说到底，还是数学观在作怪，总觉得解一道纯粹数学难题，可以登大雅之堂。至于一些不合常规的创意，往往就在冷漠中被扼杀了。李贤平教授的数学考证，别具一格，值得我们重新审视。

　　理性思维的精华

　　数学的思维是严密的，最讲究秩序的。确实，五花八门的几何图形，如三角形、圆、多边形、长方体、圆锥面等等，居然可以从一组平凡的公理出发，步步为营，依次展开，推论出一系列的前后有序的定理链条，最后构成了欧氏几何学。另外，我们能从一堆乱麻似的数据中，找到一些关系，写成方程式，而且可以按部就班地把未知数一一解出来。一个数学命题的正确与否，通常都有方法，按照一定的程序，丝丝入扣地给以证明。这一切，都是反映数学思维的“秩序化”特征。学习数学，就是要学会逻辑，使人的头脑有条理，能够按照事物发展的逻辑顺序安排工作，办起事来有条不紊。

　　有人说，数学思维太死板。例如，“三角形的三内角之和是180度”。这需要证明吗？用量角器量一量，大概差不多不就得了？数学却说不行，非得证明不可。我们说，这是一种理性的思维方式，是数学科学中所独有的。当然我们并非“数学至上”论者。数学思维只是思维方式的一种，但却是最有特点的一种。我们不妨从各种思维中有关“证明”的方法来考察数学思维。证明，是人们为了说服别人相信某个结论而使用的方法。说服人的证明方法有很多种：

　　　　a，引用权威的话。

　　　　b，相信大家的看法。

　　　　c，观察实验证实。例如，我的眼睛看到太阳是绕地球转的。

　　　　d，举例说明。

　　　　e，举不出反例。

　　以上的证明，是日常所用的，都有其重要的证明价值（决无加以否定的意思），但是又都可能出错（如所举各例）。惟独数学证明，则是千真万确的，不可动摇的。数学的逻辑证明，其价值也正在这里。因此，“三角形内角和为180度”在数学上必须从平行公理出发进行证明，人们从小就要学会这样思考，认这个死理。值得注意的是，中国传统文化中缺乏这种打破砂锅问到底的理性思维。因此，吸收古希腊数学家的这份科学遗产，把人类文明的理性精华融入中华文化，是我们的责任。

　　博彩有无窍门

　　一个小青年，准备结婚却没有房子，于是拿出4000元打算买彩票，说要来“搏一记”。他还说：“选彩票的数字，专挑那些前几次没有出现的或出现少的填上，赢的机会高。”结果被一位维持秩序的老伯伯劝阻了。这是笔者在电视上看到的一个镜头。

　　那位老伯伯做得对。彩票中奖的可能性不到十万分之一，比每年死于交通事故的概率还要小。所以买福利彩票是对社会做贡献，不能靠“搏一记”来弄钱。更荒唐的是，赢彩票还有“窍门”，即所谓前面少出现的数字，这次出现的可能性会大。这是中国数学教育中缺乏概率统计造成的恶果。彩票摇奖时摇中的数字，完全是随机发生的，和上一次数字的出现全无关系（相互独立）。这正如民间认为，生了两个女儿之后，第三个是儿子的可能性要大些，实际上是毫无根据的一厢情愿。

　　数学上的概率思想，确实也不好掌握。1991年春天，笔者曾在本报副刊上写过短文，介绍美国《检阅》专栏作家塞望（M.Savant）女士提出的一个问题：

　　“有三扇门，只有一扇门的后面是一辆车，若猜中即开走。现在我猜一号门。然后主持人将2、3号门中无车的打开，例如3号门后无车。现在请问，你是否要换选2号门？这一问题的答案是应该换，但包括美国读者在内的许多人一直想不通，认为换不换一样，都是三分之一。但是正确答案是2号门有车的概率是三分之二。此后国内许多报刊相继转载讨论，两种意见都有。塞望女士后来写过一本书：《逻辑思维的威力》。她在书中解释说：“如果有100扇门，其中只有一扇门后有车，你选一号门之后，主持人打开所有的无车门（例如3，4，5.……100），问你是否换选2号，我想你一定会换！有许多读者关心这类数学思维的争论，反映国内数学文化的一种健康的变化：“数学，不再只对考题感兴趣。”

　　数学是丰富多彩的。让我们大家都来欣赏数学思维的无穷威力和迷人的魅力！ 本文转自http://blog.soufun.com/7034526/113604/articledetail.htm