前  言

   数学是理性思维的舞台，函数论的证明又是这个舞台上的第一名角。一个入了数学门的人，总是对问题的证明和证明的方法津津乐道，对推理情有独钟。

   在数学分析的“分析引论中”，有六个等价定理：Cantor闭区间套定理，Bolzano确界定理，Borel有限覆盖定理，Cauchy准则，Bolzano-Weierstrass致密性定理，Bolzano-Weierstrass聚点定理。这些定理是数学分析的基础理论，也是函数论证题的基本依据。我们要学好数学分析、实变函数和泛函分析等数学理论，提高思维能力，遨游数学世界，有必要理解和掌握这批定理，掌握运用这些定理来证题的方法。

   这些定理，从不同的角度一致地反映了实数系的一个重要性质——连续性，它们的等价性说明可以进行循环互证。

   这些定理的证明，散见于各种数学分析的编著中。但它们又都是按编著的系统，由某一定理开始仅给出一种顺序的证明方法。如果我们未全面查阅资料，很难形成对这些定理等价性的系统认识，更谈不上掌握方法、领略其中的奥妙，初学者尤其如此。出于对推理的眷恋和对基础问题的执着追求，我们利用这方寸之地，系统地给出这些定理的互证。在证明的过程中，力图全面反映这些定理的证明思想方法和定理的思想。

   在对这些定理的互证时，我们假定读者已熟悉了“分析引论”中的术语和基本概念，并且熟悉了Dedekind实数分割定理及阿基米德性质。

限于篇幅，这里不准备利用实数分割理论来证明Dedekind定理及阿基米德性质了，但为了反映这些定理（包括Dedekind定理及阿基米德性质）的等价性，最后我们还是将利用我们要证明的某个定理来证明这两个作为预备定理：Dedekind定理及阿基米德性质。为了使文意连贯，作为Dedekind定理的应用，我们利用它来证明Canter闭区间套定理、Bolzano确界定理及Cauchy准则。然后再给出这六个定理的相互证明。

   由于水平有限，又独立完成或修改了其中的许多定理的证明，并对部分定理的证明进行了创造性的劳动，因此证题中的错误在所难免，望读者指正。当然，我更希望读者能从中得到益处并体验到证明的乐趣。

   完成这些定理的证明，作者参阅了大量的有关名著，得到了老师何美伦教授的指导，并受益于晏海同学的智慧，在此表示感谢。

                                                作者 

                                           2002年11月18日

后  记

   完成对实数连续的六个基本定理的互证，还是上大学时的愿望和追求。由于疏于学业，浅薄懒惰，愿望未能实现。直到大学毕业半年后才又萌发这一念头，于是，边教中学数学边研究实数连续的六个基本定理，用了近3个月的时间才将互证完成。

   20年的时间过去了。无意中，在一堆旧件中发现了1982年初的互证手稿。看到这些开始模糊的昔日字迹和已经发黄了的稿纸，心中升起了要将它再行整理成册的意愿。敲着键盘，再次修改，细心审校，一块心头之石总算落地了。

   这本小册子的付梓，是对往昔的怀念。

                                              作者 曾建强

                                            于2003年1月18日

                                            萍乡市教学研究室