5 自守数

（一）生活中的五和数学中的5

五音：古代音乐上指宫、商、角、徵、羽五种音调；音韵学上指五类声母的五类发音部位,即喉音、牙音、舌音、齿音和唇音。一个人唱歌是严重跑调，就是五音不全；一个说话口吃模糊，就是五音不清。

五体：指身体中的两肘、两膝和头顶。对一个崇拜到极点，便会五体投地；一个人懒惰到极点，就是五体不勤。

五味：甜、酸、苦、辣、咸五种味道。一个人心里打翻了五味瓶，就是心中有某种说不出的滋味。

五行：佛教里认为，构成世界的金、木、水、火、土这五种物质。

五谷：农民生产出的稻、黍、稷、麦、豆这五种粮食。在农村，一个人五谷不分，就是不干农活，不懂农事，

五金：古代中国人最早认识的五种金属金、银、铜、铁、锡，现在泛指各种金属小制品。

五岳：中国的五大名山，指东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山和中岳嵩山。

五毒：最毒的五种动物，包括蝎、蛇、蜈蚣、壁虎、蟾蜍。说一个人五毒俱全，指他什么坏事都干。

五脏：中国古代医学认为，心、肺、脾、肝、肾等五脏与胆、胃，小肠、大肠、膀胱、三焦等六腑一起构成了身体的内部结构。

五星红旗：中华人民共和国国国旗。

五角大楼：美国国防部办公大楼。

……

5是4的后继自然数。

5是一个奇数，不是偶数。

5是一个素数，不是合数。

5是一个三角形数。

5是一个五边形数。

5是菲波那契数列中的一个数。

5是卡特兰数列中的一个数。

5是佩尔数列中的一个数。

（二）关于5的乘除法

5的乘方的个位数永远保持5不变。

判断一个整数能否被5整除，只需要看个位数是否是5或者0。一个数的最后两位能被是0或者25整除，该数能被25整除。

尾数是5的两位数的平方快速方法，即十位上的数字与加1后的数字相乘的积作为千位和百位，25是永远不变的十位个位。

例如，15^2=225；35^2=1225；55^2=2025；75^2=5625。

一个数乘以25、75的计算。可以用除以4、4/3后乘以100进行快速计算。除法亦然。

例如，16×25=16÷4×100=400；18×75=18×3÷4×100=1350；

16÷25=16×4÷100=0.64；18÷75=18÷3×4×100=0.24。

  还有一个是计算某个自然数的阶乘结果的末尾有多少0的经典数学问题，与5的个数直接相关。

例如，要计算2008的阶乘也就是1×2×3×4×5×……×2007×2008的乘积末尾有多少个0？

虽然直接进行计算也可以，但数字太大不变分析。因为5、25、125、625的个数决定了乘积中0的个数，所以计算这些数的个数就可以得到末端0的个数。

我们得到2008的阶乘中，末尾0的个数为

401＋80＋16＋3=500

（三）5是一个自守数

自守数的定义是：对于一个k位的自然数n，如果它的平方的最后k位跟原数相同，那么n就叫做“自守数”。

一位数的自守数有三个，分别为1，5，6。两位数以上的自守数有A、B两类，A类以5结尾，B类以6结尾。例如，以5结尾的自守数有25，625，90625等；以6结尾的自守数有76、376、9376等。

两类自守数的一个基本性质是：两类自守数的和相加等于自守数的位数乘10再加上1，即：

5＋6=10＋1

25＋76=100＋1

625＋3766=1000＋1

按照定义，计算自守数就是解如下的方程

X^2-X=10,100,1000,……

不过，还有一个更简单的计算方法，也就是一个k+1位的自守数nk+1可以由上一个自守数nk来求得，两类自守数的方法稍有差异。

A类：求nk的平方，取最后k+1位。若第k+1位是0，则取最后k+2位。

例如：

25^2 = 625，得三位自守数625；

625^2=390625，得五位自守数90625；

90625^2=8212890625,得六位自守数890625

890625^2 =793212890625，得七位自守数2890625；

……

十位自守数为8212890625。

B类：求nk的平方，取最后k+1位。把第k+1位的数用10减之来取代。若第k+1位是0，则取最后k+2位来减，第k+1位保持为0。

例如：

76^2 =5776，10-7=3，得三位自守376；

376^2=141376，10-1=9，得四位自守数9376；

9376^2=87909376，10-9=1，得六位自守数109376；

……

  十位自守数是1787109376。