4 首个真正的完全平方数

(一) 关于四的语言文字

房屋有四面墙，如果家里空空的，什么也没有，如成语“家徒四壁”描写的那样，则是贫穷之极。

儒家经典有《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》四种，号称四书，如果一个人饱读四书，则表示知识渊博。

方向有四个，是东南西北，出现在“四面楚歌、四海为家、四通八达、四面受敌、狼烟四起、志在四方”等成语里。

古人书房里有四种必不可少的学习工具，为“纸墨笔砚”，号称文房四宝。现在的人书房里只需要一台计算机即可。

古代中国对妇女有苛刻的品德，叫“三从四德”，三从是“未嫁从父、既嫁从夫、夫死从子”，四德是“妇德、妇言、妇容、妇功”，封建色彩甚浓。

佛家里有四大皆空，当然不是指放弃“酒色财气”，而是放弃对“地、水、火、风”四大物质世界的追求，转而进入佛法的精神世界。

中国清代编修的大型综合丛书《四库全书》收录了当时中国历史上最有价值的文化典籍3503种,计79337卷，分经、史、子、集四部。

一年有四时八节，指春、夏、秋、冬四个季度和立春、立夏、立秋、立冬、春分、秋分、夏至、冬至八个节气。

    中国文学史上有四大名著，是指《三国演义》、《红楼梦》、《水浒传》和《西游记》。

（二）关于4的算术游戏

英国数学家劳斯鲍尔出过一道四个数码的有趣算术游戏和一道四个4的有趣算术游戏。

   四个数码的题目是：用数码1、2、3、4表达由1开始一次相邻的正整数，每个数码都

要使用且只能使用一次。

采用十进制记数法，运算规则可以有许多限制：

（1）只使用加减乘除和正整数幂的运算；

（2）增加一次阶乘和一次开平方符号；

（3）还允许负整数作为指数，允许分数最为指数

   例如，

1-2-3+4=0；

12－3×4=0；

1×2＋3－4=1；

1×2×3－4=2；

……

  用四个4的题目运算规则与上面相同，只不过四个数码全是4。

   例如，

4＋4－4－4=0；

44－44=0；

4÷4＋4－4=1；

44÷44=1；

……

这样的游戏题本身并不难，但要全部找到结果需要耐心。

（三）4，第一个完全平方数

我们来看这个数列：

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,……

这是一个自然数的平方数数列。

因为0的任何次方是0，1的任何次方是1，所以4成为第一个真正的平方数。4是2的平方。

一个数如果是另一个整数的完全平方，我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。

平方数有许多性质，有些是显而易见的，有些需要简单的证明。

下面列举一些：

（1）平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

（2）奇数的平方数的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

（3）如果平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

（4）偶数的平方数是4的倍数；奇数的平方数是4的倍数加1。
（5）偶数的平方数要么能被8整除，要么余数为4；奇数的平方被8整除余数为1；

（6）平方数要么能被3整除，要么余数为1；

（7）平方数要么能被5整除，要么余数为1或者4；

（8）平方数要么能被16整除，要么余数为1、4或者9；

（9）平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。

以下是三道出现在数学竞赛中的需要证明关于平方数的题目：

（1）四个连续的整数的积加上1，是一个奇数的平方数。

（2）11,111,1111,11…11，这串数中没有一个平方数。

（3）数列49,4489,444889,44448889，……的每一项都是平方数。