5050少年高斯数

（一）少年高斯数

我把5050这个数称为“少年高斯数”，基于一个广为流传的天才少年故事。

在德国著名的数学家卡尔·弗里德里希·高斯（1777—1855年）10岁那一年（有的故事说是8岁，也有的故事说是9岁），算术老师出了一道他认为小学生十分难做的题目：

　　1＋2＋3＋4……＋97＋98＋99+100＝？

老师刚把题目说完，小高斯就报出了答案：5050。

在同班同学的怀疑和惊奇声中，高斯讲出了整个运算思路：1到100这一百个数，把头尾两个数加起来都等于101，这样的数好有50对。

乘法是加法的快速运算，把加法换为乘法，结果就是：

101×50＝5050。

毫无疑问，这个答案是正确的。

也许，现在上过奥数班的三年级中国小学生并不认为高斯有多少的天才，因为对这样的题目，他们已经是轻车熟路了。在老师的指导下，小学生会有很多种方法计算类似这样的各种等差数列的和。

等差数列求和公式为： 和=（首项＋末项）×项数÷2

这个公式和梯形求面积公式一样：面积=（上底＋下底）×高÷2

在无人指导的情况下，少年高斯用超强的思维能力，自己通过一种完全归纳推理方法，找到了解题捷径，这才是高斯表现出数学天才之所在。

中国有句古话，“小时了了，大未必佳”，意思是说一个人小时候很了不起，长大了未必有出息。数学家高斯完全不是这样。他被称为“数学王子”，在数学史上与阿基米德、牛顿并称三大最著名数学家。高斯17岁就发现正十七边形的尺规作图法，并给出可用尺规做出正多边形的条件。高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究中，创造了最小二乘法原理。

（二）更大的少年高斯数

记得小学学习珠算加法时，从1逐个加到100是最重要的练习。为了偷懒，有的时候，中间过程我们会胡乱拨算珠，最后干脆直接把答案拨在算盘上；有的时候，我们也记住了一些中间数，例如从1加到36是666，便从666加37算起。

现在，我们也来一个偷懒的办法，快速计算1～1000、1～10000、1～100000……所有数的和。

1＋2＋……10 = 55

1＋2＋……100 = 5050

1＋2＋……1000 = 500500

1＋2＋……10000 = 50005000

1＋2＋……100000 = 5000050000

看出规律了吗？

在所有的得数里，除了两个5其余位数都是0。最高位那个5不变，只需要在第二个5前后填0就行。

如果最后这个加数是2个0的数100，就在第二个5前后都填1个0；

如果最后这个加数是5个0的数100000，就在第二个5前后填4个0。

或者，更简单地，把最后的这个数折半后写两遍就成。 

（三）少年高斯数字数

与少年高斯数相近的一个数，我称之为“少年高斯数字数”。之所以取这个名字，在于题目的表述和算法与少年高斯数基本相似。

1～100的所有各数的数字和，就是少年高斯数字数。那么这个数是多少呢？

我们可以这样进行计算。

1～9的各数的数字和是45；

10～19的各数的数字和是55；

20～29的各数的数字和是65；

…

90～99的各数的数字和是135；

最后1个数100的数字和是1。

1～100各数的所有数字和就是计算

45＋55＋65＋……＋135＋1

如果采用高斯头尾配对法，需要借用1个0。

0与99、1与98、2与97.....的数字和都是18，这样的数对共有50对。再加上100的数字1。得数立即可得。 

计算结果得到少年高斯数字数为901。

如果我们要继续计算，即1～1000、1～10000、1～100000......的所有各数的数字和，又该是多少呢？

我也没有去计算过，不过应该很容易找到计算规律。留作喜欢做数学题的人去思考和练习吧。