127-137 关于除数为7的11道趣味数学题

  在趣味数学中，关于除数为7的余数这类题出现得比较多，在一些竞赛试题里也有不少这类题。

   这里有四个原因：

 （1）它与生活密切相关。因为1周有7天，因此人们常把某个数与日期结合起来，通过除以7的余数来判断多少天后是星期几。

  （2）在除数为2～10内的数中，判断一个数能否被7整除的方法最为复杂。常用的方法是，把一个大数按3位数分为若干节，奇数节各数和与偶数节各数和的差值，能被7整除，则这个大数能被7整除。

 （3）解答这类题只需要掌握初等算术知识，如弃整相除法、同余的基本性质、尾数的判定、小数点循环（这类题甚至频繁出现在中国的小学奥数题里）。

 （4）被除数往往是一些大数，因为对于极大的数，人们心里有恐惧感，而且判断结果往往需要好几步，所以求解需要有信心和耐心。

 下面就是一些关于除数7的10道趣味数学题，初看一下，难度似乎很大。

 题目1：今天是星期一，再过987654321天后是星期几？

 题目2：今天是星期二，再过2008年后是星期几（为简化计算，每年天数按365天计）？

 题目3：今天是星期三，再过3642008天后是星期几？

 题目4：3652008除以7，有循环小数存在，小数后的第2008位是几？

 题目5：一个具有ABCABC或者ABABAB特征的六位数，一定能被7整除，为什么？

 题目6：由2007个3构成形如333…333的一个数，这个数除以7的余数是多少？

 题目7：444…44□999…9是一个99位数（其中4和9各49个），这个能被7整除，问中间□这个数是几？

 题目8：由2008个12得到一个数1212…1212，这个数除以7，余数是多少？

 题目9：形如2AAAAAA8的八位数（A是0到9中的任意数字），一定能被7整除，为什么？事实上，形如xABABAB或者xABCABCy的数均能被7整除，只要xy能被7整除。

 题目11：证明：在1n+2n+3n+4n+5n+6n的计算式中，只有当n=6k时，该算式不能被7整除。