163-165 关于11整除的三道数学趣题

当我们把一道题称为数学趣题的时候，不管表面上题目多么困难，我们都可以找到解题的捷径和巧妙的办法。

初看一下下面三道题，你是不是觉得无从下手呢？

（1）2、3、5的相同正整数k次方之和不能被11整除，但2^(5k+m)+3^(5k+n)+5^(5k+l)能被11整除，这里m、n、l都是小于5的正整数。求m、n、l的值。

（2）3、5、7的3次方都不能被11整除，但3^3+5^3+7^3能被11整除。对于正整数n，如果3^n+5^n+7^n能被11整除，那么，n应该满足什么条件呢？

          (3)对于正整数如果5^n+7^n+9^n能被能11整除，求出最小的n以及n的表达式。

细想之后，你会发现，所有这三道题解题思路和方法都是一样的，需要用到的数学知识是余数的基本性质和数的循环，不需要做任何复杂的运算。

余数的基本性质之一：几个加数的和除以某数的余数，等于每个加数除以某数的余数之和（如和大于除数再求余数）。例如，（56+57）除以11的余数等于55除以11的余数加上57除以11的余数，所以余数为3。

余数的基本性质之二：两个乘数除以某数的余数等于一个乘数除以某数的余数乘以另一个乘数（如乘积大于除数再求余数）。例如，56×9除以11的余数等于56除以11的余数乘以9，所以余数为9。