高考数学易错题举例解析

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高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。

●  忽视等价性变形，导致错误。

 Û ，但 与 不等价。

【例1】已知f(x) = ax + ，若 求 的范围。

错误解法  由条件得    

②×2－①            

①×2－②得         

+ 得 

错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数 ，其值是同时受制约的。当 取最大（小）值时，不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。

正确解法  由题意有 , 解得：

  把 和 的范围代入得

在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。

●忽视隐含条件，导致结果错误。

 【例2】

(1) 设 是方程 的两个实根，则 的最小值是

思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。

利用一元二次方程根与系数的关系易得：

有的学生一看到，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。

原方程有两个实根 ，∴ Þ

当 时， 的最小值是8；

当 时， 的最小值是18。

这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。

(2) 已知(x+2)2+ =1,求x2+y2的取值范围。

错解 由已知得 y2=－4x2－16x－12，因此x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+  ，

∴当x=－时，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范围是(－∞,]。

分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。

事实上，由于(x+2)2+ =1 Þ(x+2)2=1－ ≤1 Þ －3≤x≤－1，

从而当x=－1时x2+y2有最小值1。∴    x2+y2的取值范围是[1, ]。

注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。

●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。

【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+)2的最小值。

错解 (a+ )2+(b+)2=a2+b2+ + +4≥2ab+ +4≥4+4=8,

∴(a+ )2+(b+ )2的最小值是8.

分析上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。

事实上，原式= a2+b2+ + +4=(a2+b2)+( + )+4=[(a+b)2－2ab]+[( +)2－ ]+4

                     = (1－2ab)(1+ )+4，

由ab≤( )2=  得：1－2ab≥1－ = , 且≥16，1+ ≥17，

∴原式≥ ×17+4=  (当且仅当a=b=时，等号成立)，

∴(a + )2 + (b + )2的最小值是。

●不进行分类讨论，导致错误

【例4】(1)已知数列 的前 项和 ，求

错误解法 

错误分析  显然，当 时， 。

错误原因：没有注意公式 成立的条件是。

因此在运用 时，必须检验 时的情形。即： 。

(2)实数 为何值时，圆 与抛物线 有两个公共点。

错误解法  将圆 与抛物线 联立，消去 ，

得     ①

因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得   ， 解之得

错误分析  （如图2－2－1；2－2－2）显然，当时，圆与抛物线有两个公共点。

要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。

当方程①有一正根、一负根时，得 解之，得

因此，当 或 时，圆 与抛物线 有两个公共点。

思考题：实数 为何值时，圆 与抛物线 ，

(1) 有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。

●以偏概全，导致错误

以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。

【例5】(1)设等比数列 的全 项和为 .若 ，求数列的公比 .

错误解法  ，

。

错误分析  在错解中，由 ，

时，应有 。

在等比数列中，是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在 的情况下，对式子进行整理变形。

正确解法  若 ，则有 但 ，即得 与题设矛盾，故.

又依题意  Þ   Þ ,即 因为 ，所以 所以解得

说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。

(2)求过点 的直线，使它与抛物线 仅有一个交点。

错误解法  设所求的过点 的直线为，则它与抛物线的交点为

，消去 得 整理得 

直线与抛物线仅有一个交点， 解得 所求直线为

错误分析  此处解法共有三处错误：

第一，设所求直线为 时，没有考虑与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。

第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。

第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。

正确解法  ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点 ，所以 即 轴，它正好与抛物线 相切。

②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行 轴，它正好与抛物线只有一个交点。

③一般地，设所求的过点 的直线为 ,则 ，

令 解得k = ,∴  所求直线为

综上，满足条件的直线为：

《章节易错训练题》

1、已知集合M = {直线} ，N = {圆}，则M∩N中元素个数是  A(集合元素的确定性)
(A)                            0            (B) 0或1                           (C)0或2    (D) 0或1或2

2、已知A = ，若A∩R* = F ，则实数t集合T =___。 (空集)

3、如果kx2+2kx－(k+2)<0恒成立，则实数k的取值范围是C(等号)

(A) －1≤k≤0   (B)－1≤k<0   (C)－1<k≤0   (D)－1<k<0

4、命题 ＜3，命题 ＜0，若A是B的充分不必要条件，则的取值范围是C(等号)

（A）    （B）    （C）    （D）

5、若不等式x2－logax<0在(0,)内恒成立，则实数 的取值范围是A(等号)

(A)  [,1)      (B)(1, +)                        (C)(,1)                 (D) (,1)∪(1,2)

6、若不等式(－1)na < 2+对于任意正整数n恒成立，则实数 的取值范围是A(等号)
(A)[－2，)                 (B)(－2，)              (C)[－3，)              (D) (－3，)

7、已知定义在实数集 上的函数 满足： ；当 时， ；对于任意

的实数 、 都有 。证明： 为奇函数。(特殊与一般关系)

8、已知函数f(x) = ，则函数的单调区间是_____。递减区间(－ィ1)和(－1， +)

（单调性、单调区间）

9、函数y = 的单调递增区间是________。[－，－1）（定义域）

10、已知函数f (x)= ， f(x)的反函数f－1(x)=        。

（漏反函数定义域即原函数值域）

11、函数 f (x) = log (x 2 +a x + 2) 值域为 R，则实数 a的取值范围是D(正确使用△≥0和△<0)
(A) (－2,2)                           (B) [－2,2]
(C)(－,－2)∪(2,+)          (D) (－,－2]∪[2,+)

12、若x≥0，y≥0且x+2y=1，那么2x+3y2的最小值为B(隐含条件)
（A）2                           （B）                      （C）                     （D）0

13、函数y= 的值域是________。(－∞, )∪( ,1)∪(1,+∞)（定义域）

14、函数y = sin x (1 + tan x tan )的最小正周期是C（定义域）
(A)                        (B)p                           (C)2p                         (D) 3

15、已知 f (x) 是周期为 2 的奇函数，当 xÎ [0,1) 时，f (x) = 2x，则 f (log 23) = D(对数运算)
(A)                      (B)                      (C)－                   (D) －

16、已知函数 在 处取得极值。

  （1）讨论 和 是函数 的极大值还是极小值；

（2）过点 作曲线 的切线，求此切线方程。(2004天津)

（求极值或最值推理判断不充分(建议列表)；求过点切线方程，不判断点是否在曲线上。）

17、已知tan (a－)= － 则tan a=  ；= 。、（化齐次式）

18、若 3 sin 2a + 2 sin 2b－2 sin a = 0，则cos 2a + cos2b 的最小值是  __。(隐含条件)

19、已知sinq + cosq = ，qÎ (0，p)，则cotq =_______。－(隐含条件)

20、在△ABC中，用a、b、c和A、B、C分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a=2、

、 ，则∠B =  B(隐含条件)

      （A）             （B）                 （C）          （D）

21、已知a>0 , b>0 , a+b=1，则(a +)2  +  (b +)2的最小值是_______。(三相等)

22、已知x ≠ kp (k Î Z)，函数y =sin2x + 的最小值是______。5（三相等）

23、求 的最小值。

错解1 

错解2 

错误分析  在解法1中， 的充要条件是

即 这是自相矛盾的。

在解法2中， 的充要条件是

这是不可能的。

正确解法1

其中，当

正 确 解 法2 取正常数 ，易得

其中“ ”取“＝”的充要条件是

因此，当

24、已知a1 = 1，an =an－1 +2n－1(n≥2)，则an =________。2n－1(认清项数)

25、已知 －9、a1、a2、－1四个实数成等差数列，－9、b1、b2、b3、－1五个实数成等比数列，

则 b2(a2－a1) = A(符号)
(A) －8  (B)8    (C)－     (D)

26、已知 {an}是等比数列，Sn是其前n项和，判断Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列吗？

当q = －1，k为偶数时，Sk =0，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k不成等比数列；

当q≠－1或q =－1且k为奇数时，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列。

（忽视公比q = －1）

27、已知定义在R上的函数 和数列 满足下列条件：

 ，f(an)－f(an－1) =k(an－an－1)(n =2,3,┄)，其中a为常数，k为非零常数。（1）令 ，证明数列是等比数列；（2）求数列 的通项公式；（3）当 时，求 。(2004天津)

（等比数列中的0和1，正确分类讨论）

28、不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m + 3)i +10成立的实数m的取值集合是________。{3}(隐含条件)

29、i是虚数单位，的虚部为（   ）C(概念不清)
(A)－1                       (B)－i                        (C)－3                      (D) －3 i

30、实数 ，使方程 至少有一个实根。

错误解法  方程至少有一个实根，

 Þ 或

错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。

正确解法  设 是方程的实数根，则

由于 都是实数， ,解得 

31、和a = (3,－4)平行的单位向量是_________；和a =(3,－4)垂直的单位向量是_________。

(，－)或(－，)；(，)或(－ ，－ )(漏解)

32、将函数y=4x－8的图象L按向量a平移到L/，L/的函数表达式为y=4x，则向量a=______。

                                                  a = (h，4h+8) (其中h Î R)(漏解)