函数的极值及其求法——转贴自爱华女子网校  

 在学习函数的极值之前，我们先来看一例子：
  设有函数，容易知道点x=1及x=2是此函数单调区间的分界点，又可知在点x=1左侧附近，函数值是单调增加的，在点x=1右侧附近，函数值是单调减小的.因此存在着点x=1的一个邻域,对于这个邻域内,任何点x(x=1除外)，＜均成立，点x=2也有类似的情况(在此不多说),为什么这些点有这些性质呢？
 事实上，这就是我们将要学习的内容——函数的极值，

函数极值的定义
  设函数在区间(a,b)内有定义，x0是(a,b)内一点.
 若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x0点除外)，＜均成立，
   则说是函数的一个极大值；
 若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x0点除外)，＞均成立，
   则说是函数的一个极小值.
  函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。
 我们知道了函数极值的定义了，怎样求函数的极值呢？
 学习这个问题之前，我们再来学习一个概念——驻点
  凡是使的x点，称为函数的驻点。
  判断极值点存在的方法有两种：如下

方法一：
  设函数在x0点的邻域可导，且.
  情况一：若当x取x0左侧邻近值时，＞0，当x取x0右侧邻近值时，＜0，
          则函数在x0点取极大值。
  情况一：若当x取x0左侧邻近值时，＜0，当x取x0右侧邻近值时，＞0，
          则函数在x0点取极小值。
  注：此判定方法也适用于导数在x0点不存在的情况。
  用方法一求极值的一般步骤是：
    a)：求；
    b)：求的全部的解——驻点；
    c)：判断在驻点两侧的变化规律，即可判断出函数的极值。

 例题：求极值点
   解答：先求导数
      再求出驻点：当时，x=-2、1、-4/5
      判定函数的极值，如下图所示
                

方法二：
  设函数在x0点具有二阶导数，且时.
   则：a)：当＜0，函数在x0点取极大值；
      b)：当＞0，函数在x0点取极小值；
      c)：当=0，其情形不一定，可由方法一来判定.

  例题：我们仍以例1为例，以比较这两种方法的区别。
    解答：上面我们已求出了此函数的驻点，下面我们再来求它的二阶导数。
      
      ，故此时的情形不确定，我们可由方法一来判定；
      ＜0，故此点为极大值点；
      ＞0，故此点为极小值点。