作者:佚名
| 发表日期:2008-04-17
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浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧
放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。
所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使，由A到C叫做“放”，由B到C叫做“缩”。
常用的放缩技巧还有：（1）若（2）
（3）若则（4） （5）（6）或 （7）等等。
用放缩法证明下列各题。
例1 求证：
证明：因为所以左边因为99＜100（放大）＜所以
例2 （2000年海南理11）若求证：
证明：因为所以因为［因为（放大），所以又所以是增函数］，所以，所以
例3 （2001年云南理1）求证：
证明：（因为）
［又因为（放大）］，所以所以
例4 已知求证：
证明：因为
例5 求证：
证明：因为（因为）（放大）所以
例6 （2000年湖南省会考）求证：当时，函数的最小值是当时，函数的最大值是
证明：因为原函数配方得又因为所以（缩小），所以函数y的最小值是。当所以（放大），所以函数y的最大值是
例7 求证：
证明：因为（分母有理化）所以原不等式成立。
例8 （2002年贵州省理21）若求证：
证明：因为而所以所以同理可证（当且仅当时，取等号）。
例9 已知a、b、c分别是一个三角形的三边之长，求证：
证明：不妨设据三角形三边关系定理有：便得 所以原不等式成立。
例10 （1999年湖南省理16）求证：
证明：因为又所以原不等式成立。
例11 求证：
证明：因为左边 证毕。
例12 求证
证明：因为所以左边
注：1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若则。2、使用放缩法时，“放”、“缩”都不要过头。3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩。