中点弦问题是中学教学的一类重要问题，也是高考的热点问题之一，常规解法比较繁琐，本文给出此类问题的一种极为简捷的解法––––对称曲线法。

　 结论：设曲线与它关于点的对称曲线C＇相交，则当

　 为一次方程时，就是中点弦方程。

　 证：易知曲线C＇为： 且。设C与C＇的一交点为，则＝0。由中点坐标公式得A关于点M的对称点为 。

　 因为，所以当为一次方程时，就是中点弦方程。

　 例1. 求抛物线 关于点M（1，1）的中点弦方程。

　 解：由 及两式相减得中点弦方程为

　 ，即。

　 例2. 已知椭圆 ，A、B是椭圆上2点，弦AB的垂直平分线与轴交于点，证明：。

　 证：设AB中点 ，则AB方程为

　 即。

因为 所以。因为，所以。

　 由得。

　 例3. 试确定 的取值范围，使得椭圆上有不同的2点A、B关于直线 对称。

　 解：设AB中点 ，则AB方程为 。因为，所以，即。

　 又，所以。因为在C内，所以

　 。

可见，用对称曲线法解中点弦问题，快捷方便，易于掌握，值得推广。

摘自高考热讯