从解题回顾中培养学生的数学思维品质

饶平县第二中学  李彬华

解题过程包括“弄清问题”、“寻求解题思路”、“写出解题过程”、“解答回顾”等四个重要环节，第一个环节是解题的起始，第四个环节是解题的归宿和升华；第四个环节对于培养学生数学思维的严谨性、广阔性、深刻性、创造性等优良品质有着重要的意义。

1、检查解题过程，培养思维的严谨性

数学是一门具有高度抽象性和严密逻辑性的科学，严谨性是其重要特征之一，数学思维的严谨性要求思维过程服从逻辑规律。考察问题严格准确、运算推理无误，因而每每解题之后，应认真检查解题过程，推敲涉及的概念及公式是否准确，所作判断依据如何，考虑问题全面与否……，如此解题回顾，不仅有利于进一步巩固理解双基，而且有利于思维严谨性的培养。

例1 现有5件不同的奖品分给4名先进工作者，每人至少一件，问共有多少种不同的分配方案？

一位学生的分析具有代表性：由于每人至少一件，故先从5件奖品中选出4件分别分给4人，剩下1件奖品分给4人中任何1人，故共有 （件）。

解题回顾：这种思路类似于“排列问题”中的位置分析法，因而得到很多同学的认可，说明错误具有隐蔽性和普遍性，于是笔者引导学生从简单问题着手，即把奖品数改为3件、人改为2人，则利用列举法得出共有6种分法，但按上述解法应有 （种）。学生感觉到原解法有问题，通过讨论反思，终于发现原来解法有重复现象。如何修正答案？大家悟出利用元素的相互对应关系，在原有基础上除以2即可，这也为“概率”的学习埋下了伏笔。当然本题了可先从5件奖品中任取2件“捆绑”成一个元素与剩下3件奖品分别分给4 人，故共有 （件）。

2、深刻思考，培养思维的深刻性

数学思维的深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平，解题之后，不应为题目的表面现象所迷惑，面应作进一步的思考，抓住问题的本质和规律深入细致再研究，这种层层深入式的解题回顾，对思维深刻性的培养有着重要的指导意义。

例2 求证：

证明：∵

∴

    解题回顾：证明结束后，再进行思考，深知在7+8=5+10=2+13的前提下，不等式成立的关键为 ，于是进一步可猜想是否有命题： 则 。再深入一步， 中，7与8接近，2与13较远，5与10居中，于是猜想是否有命题： （即 当 为定值，则 ，这与均值不等式表达的意义一致。）

3、一题多解，培养思维的广阔性

思维的广阔性指思维活动作用范围的广范和全面的程度，它表现为全面地分析问题，多方位多角度地思考问题。解题过后，如果能对数学问题的特征、差异及蕴含关系进行重新分析，运用不同的方法处理和解决问题求得一题多解，则有助于培养思维广阔性。

例3 求以原点为焦点，直线 为对应准线的动椭圆短轴端点的轨迹方程。

x

y

O

D

B

-2

图1

。

过 作BD垂直直线 ，D为垂

足，由椭圆的定义得

化简得动椭圆短轴端点的轨迹方程为 。

解法2（参数法）设 是椭圆上任意一点， 为椭圆的离心率，则椭圆的方程为 ，整理得

      设椭圆短轴端点为 ，则

（ 为参数，且 ）

消去 得动椭圆短轴端点的轨迹方程为

解法3（不变量法）解题开始解法1类似，注意到无论动椭圆怎么变化，焦点对应准线的距离为2，而 ，故 ，于是求得答案。

解题回顾：由于题设中既有焦点，又有准线，故应能触发思维的“信息源”，想到椭圆的定义，但如何运用定义，由于理解不同产生差异。直接法把定义用在特殊点（短轴端点）上，用好图形的性质是关键；参数法把定义用在任意点上，只要通过配方，便能求得其参数方程，但运算要求较高；不变量法则充分显示了圆锥曲线定义背景下数学模型的威力。通过这三种解法的展示、比较和反思，能使各种层次的学生对数学思想方法有不同程度的领悟，从而提高了学生运用知识的能力。

4、变量推广，培养思维的创造性

思维的创造性指在思维过程中，能独立思考创造出有价值的具有新颖性成分的智力品质。一个对新的数学问题的认识，经常是在解题回顾中获得，解题之后，应当再思考题目是否可进一步变换与引伸，如条件不变，是否要以变换出其它结论，条件再加强一些引起，又有什么新的结论等等。如此解题回顾，对于调动解题的积极性，探索新命题，获得新知识，培养和发展思维创造性品质有着重要意义。

例4 证明：（1）若 ；

         （2）若

对于（1）利用代入法即能获得证明；对于（2）利用作差法，即因

故

虽然作业中大部分学生都能正确解答，但大家对函数的这一特性还缺乏足够理性认识，于是从函数凹凸性上引导，并从多个角度作变形，让学生继续探究，以领会该题的数学本质。

变形1（条件一般化）若

变形2（结论一般化）若 ，当正数 满足 时，证明：比较 。

变形3（多元化推广）若 ，证明：

（1） ；

（2）

变形4（改变函数式）若 ，试比较 ， 的大小。

上述变式训练，不但能加强学生对代入法、配方法的熟练掌握，而且能让学生领会探究问题的科学思维模式，全方位地理解函数凹凸性的多种表达形式，随着学习的进展，还可以进一步让学生从不同的视角去反思函数的这一特性。

例如：在数列教学中可以补充以下问题让学生探究讨论这一特性：

变形5 等差数列 前 项和 ，若 ，试求公差 的取值范围。

变形6 设 是由正数组成的等比数列， 是其前 项的和，

证明：

通过一道习题的变式性反思，把不同的知识、技能、题型及方法有机地结合在一起，从而有得学生领会知识的整体形态。

数学学习离不开解题，但并非多多益善，对做过的题目进行回顾反思，并站在一定高度上加以审视，从中发掘题目的精髓，看透问题的本质，这是提高数学“悟性”，培养“元认知”能力的最佳时机。教学中，只有抓住这一契机，积极引导学生从题内走向题外，进而达到较少的题量取得最佳的学习效果的理想境界，真正让广大学生告别茫茫题海，享受数学王国中的乐趣和情趣。