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  • 模形式与拓扑(II)
  • 作者:佚名
  • 发表日期:十月 01, 2007
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  • 编者导读:作者 Kefeng Liu原题: Modular Forms and Topology.译自: Contemporary Mathematics, Vol.193 (1996), pp.237 -- 262.\sec{2 \ 在拓扑中的应用}在上面的讨论中, 通过把指标理论, Kac-Moody代数,椭圆函数与模形式的力量整合起来, 可以帮助我们得到更多有趣的拓扑结果.在这里为简单起见, 我们仅解...
  • 作者 Kefeng Liu

    原题: Modular Forms and Topology.
    译自: Contemporary Mathematics, Vol.193 (1996), pp.237 -- 262.


    \sec{2 \ 在拓扑中的应用}

    在上面的讨论中, 通过把指标理论, Kac-Moody代数,
    椭圆函数与模形式的力量整合起来,
    可以帮助我们得到更多有趣的拓扑结果.
    在这里为简单起见, 我们仅解释几个特殊的例子.
    更一般的讨论可参见[Liu1]. 下面的图示可能对理解应用的一般描述有所帮助. 首先许多
    关于紧光滑旋量流形$M$的结果在它的loop空间$LM$上有类比.
    \vskip-.8cm
    \begin{eqnarray*}
    M &---& LM\
    \hat{A}-\mbox{消没定理}&--& \hat{\Theta}-\mbox{消没定理}\
    d_s \ \mbox{是刚性的}&--& \mbox{Witten 刚性定理}\
    \mbox{符号差}\equiv 0(\mbox{mod}\ 16)&--&\mbox{符号差}\equiv
    0(\mbox{mod}\ 16).
    \end{eqnarray*}
    \vskip-.2cm
    \noindent
    但是关于$LM$的结果更强,并且它们中的很多
    没有有限维类比. 更确切地, 我们有下面的列表
    \vskip-1cm
    \begin{eqnarray*}
    M &---& LM\
    ?&--&\mbox{高水平刚性定理}\
    ?&--& \mbox{高水平消没定理}\
    ?&--&\mbox{一般的奇妙消去性质}.
    \end{eqnarray*}
    \vskip-.2cm
    \noindent
    这里高水平是指在我们的研究中自然出现的loop群的
    高水平表示. 当然, 可以通过特定化
    $LM$上的结果以得到$M$上的结果.
    我们希望量子群, 仿射李代数的有限维类比,
    最终可以帮助解释上面的``$?$''.

    \subsec{2.1 \ 奇妙的消去公式}

    在[AW]中, 通过直接计算得到一个重力反常消去公式.
    这是一个把$L$--类与$\hat{A}$--类
    以及一个$12$--维流形的扭曲 $\hat{ A}$--类联系起来的公式.
    确切地说, 令$M$为维数为$12$的光滑流形,
    则奇妙的消去公式是
    \vskip-.2cm
    $$L(M)=8\hat{A}(M,T)-32\hat{A}(M),$$
    \vskip-.2cm
    \noindent
    其中$T=TM$表示$M$的切丛,等式在每一个{\kaishu {微分形式}}的最高次数成立. 这里
    \vskip-.5cm
    $$\hat{A}(M, T)=\hat{A}(M)\mbox{ch}\,T$$
    \vskip-.3cm
    是被切丛扭曲的 $\hat{A}$--类.

    利用椭圆亏格,
    我们可以得到一个对任意维数流形都成立的、更具有一般性的公式 .
    我们甚至可以得到一个涉及一般向量丛的公式. 为简单起见,
    我们选取维数为$8k+4$的流形 $M$, 并且只考虑切丛的情形. 记
    $$\align
    \Theta_1(M) & =\otimes_{j=1}^\infty S_{q^j}(\bar{T}M)\otimes
    \otimes_{m=1}^{\infty}\Lambda_{q^m}(\bar{T}M),\
    \Theta_2(M) & =\otimes_{j=1}^\infty S_{q^j}(\bar{T}M)\otimes
    \otimes_{m=1}^{\infty}\Lambda_{-q^{m-1/2}}(\bar{T}M).\endalign$$
    它们有系数在$K(M)$中的关于$q$的下述展开式
    $$\align
    \Theta_1(M) & =A_0+A_1q+\cdots,\
    \Theta_2(M) & =B_0+B_1q^{\frac{1}{2}}+\cdots.\endalign$$

    用$P_1(\tau)$ 和 $P_2(\tau)$分别表示$L(M)\mbox{ch}\,\Theta_1(M)
    \mbox{和}\ \hat{A}(M)\mbox{ch}\,\Theta_2(M)$中的最高次项.

    令$\Gamma_0(2), \Gamma^0(2)$为模子群,
    $$\begin{array}{rl}
    \Gamma_0(2) \!\!\!\!
    & = \Big\{ \Big(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}
    \Big)\in SL_2({\Bbb Z}) \, | \, c\equiv0\ (\mbox{mod}\ 2)\Big\},\
    \Gamma^0(2) \!\!\!\!
    & = \Big\{ \Big(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\Big)\in
    SL_2({\Bbb Z}) \, | \, b\equiv0\ (\mbox{mod}\ 2)\Big\}.\
    \end{array}$$
    让我们回忆一下,一个模子群$\Gamma$上的一个模形式
    是一个定义在上半平面${\Bbb H}$上的全纯函数 $f(\tau)$,
    使得对于任意的$g = \Big(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\Big)\in \Gamma$, 都有
    $$f\Big(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\Big)=\chi(g)(c\tau+d)^kf(\tau),$$
    其中$\chi:\ \Gamma\rightarrow {\Bbb C}^*$是$\Gamma$上的一个特征标 ,
    $k$称为$f$的权. 我们也假定$f$在$\tau=i\infty$是全纯的.
    下面的引理可以利用\S 1给出的$P_1(\tau)$ 与 $P_2(\tau)$的$\theta$--函数表示来证明.

    {\heiti\bf{引理2.1.1}} {\pt{国}} {\kaishu{$P_1(\tau)$是$\Gamma_0(2)$上权为$4k+2$的模形式;
    $P_2(\tau)$是$\Gamma^0(2)$上权为$4k+2$的模形式.}}

    同在\S 1.4中一样,令
    $$\begin{array}{ll}
    \delta_1(\tau)=\displaystyle\frac{1}{8}(\theta_2^4+\theta_3^4), \qquad
    & \varepsilon_1(\tau)=\displaystyle\frac{1}{16}\theta_2^4\theta_3^4,\\[3mm]
    \delta_2(\tau)=\displaystyle -\frac{1}{8}(\theta_1^4+\theta_3^4),
    & \varepsilon_2(\tau)=\displaystyle\frac{1}{16}\theta_1^4\theta_3^4.\
    \end{array}$$
    它们有下面关于$q$的Fourier展开
    $$\begin{array}{ll}
    \delta_1(\tau)=\displaystyle\frac{1}{4}+6q+\cdots, \qquad
    & \varepsilon_1(\tau)=\displaystyle\frac{1}{16}-q+\cdots,\\[3mm]
    \delta_2(\tau)=\displaystyle-\frac{1}{8}-3q^{\frac{1}{2}}+\cdots,
    & \varepsilon_2(\tau)=q^{\frac{1}{2}}+\cdots,
    \end{array}$$
    其中``$\cdots$''是高次项,这些项的系数都是整数.

    令$M(\Gamma)$表示$\Gamma$上具有整Fourier系数的模形式构成的环.

    利用Jacobi $\theta$--函数的变换公式[Ch], 我们得到

    {\heiti\bf{引理2.1.2}} {\pt{国}} {\kaishu{$\delta_1, \delta_2$ 是权为$2$ 模形式,
    $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 是权为$4$模形式,
    并且$M(\Gamma^0(2))= {\Bbb Z}[8\delta_2(\tau),\ \varepsilon_2(\tau)]$.}}

    由于这两个引理, 我们可以记
    $$P_2(\tau)=b_0(8\delta_2)^{2k+1}+b_1(8\delta_2)^{2k-1}\varepsilon_2+\cdots
    +b_k (8\delta_2)\varepsilon_2^k ,$$ 其中 $b_j$是$\{
    \hat{A}(M)\mbox{ch}B_j \}$的最高次项的整线性组合.

    应用模变换 $S:\ \tau\rightarrow -\frac{1}{\tau}$, 我们有
    $$\align
    & \delta_2\Big(-\frac{1}{\tau}\Big) =\tau^2 \delta_1(\tau),
    \qquad \varepsilon_2\Big(-\frac{1}{\tau}\Big)
    =\tau^4\varepsilon_1(\tau),\
    & P_2\Big(-\frac{1}{\tau}\Big) =2^{-(4k+2)}\tau^{4k+2}P_1(\tau).
    \endalign$$
    因此, 当$q=0, 8\delta_1=2$与$\varepsilon_1=2^{-4}$时,
    $$P_1(\tau)=2^{4k+2}[b_0(8\delta_1)^{2k+1}+b_1(8\delta_1)^{2k-1}\varepsilon_1+\cdots +b_k
    (8\delta_1)\varepsilon_1^k].$$
    我们得到一般的奇妙消去公式的一个特殊情形:

    {\heiti\bf{定理2.1}} {\pt{国}} {\kaishu{在最高次数, 下面的恒等式成立,
    $$ L(M)=2^3 \sum^k_{j=0}2^{6k-6j}b_j.$$}}

    至于更一般的公式, 参见[Liu1]. 用$b_j(TM)$表示诸$B_i(TM)$的整线性组合, 它们是定理中出现
    的多项式$b_j$. 非常清楚,这些$b_j (TM)$可以被典则地确定.

    对一个紧定向光滑流形$M$, 我们有

    {\heiti\bf{推论2.1}} {\pt{国}} {\kaishu{下面的恒等式成立,
    $$\mbox{Sign} (M)=2^3\sum^k_{j=0}2^{6k-6j}\int_M \hat{A}(M)\mbox{ch}\ b_j(TM).$$}}

    等式的左边表示$M$的符号差. 特别地, 如果$M$是旋量流形,
    则右边的每一个示性数是偶数. 我们可以重新得到Ochanine定理[O1]:

    {\heiti\bf{推论2.2}} {\pt{国}} {\kaishu{一个$8k+4$维紧旋量流形的符号差可以被$16$整除.}}

    实际上, 该证明表明对应loop空间$LM$的符号差$P_1(\tau)$可以被$16$整除.
    结合Atiyah-Patodi-Singer指标公式,
    上述奇妙消去公式给出一些拓扑不变量的有趣的解析表示. 也可以
    用$\eta$--不变量表示某些行列式线丛的和乐(holonomy).
    更进一步的细节, 可以参见 [Liu1]与 [LZ]. 需要注意的是, 上面证明的主要思想来自
    Hirzebruch [H1] 与 Landweber [La].

    全文见 数学译林
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  • 【引用地址】http://www.suanshu.net/test.aspx
  • 【关键字】模形式与拓扑(II)
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