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  • 由Tychonoff定理导出Ascoli-Arzel\`a定理
  • 作者:佚名
  • 发表日期:十月 01, 2007
  • 浏览:87次
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  • 编者导读:作者 David C. Ullrich原题: The Ascoli-Arzel\`a Theorem via Tychonoff's Theorem. 译自: The Amer. Math. Monthly, Vol.110 (2003), No.10, p.939--940.这篇短文的目的是指出, 可以作为Tychonoff定理(即,任意多个紧空间的拓扑积是紧的---$\!$---译注)的一个...
  • 作者 David C. Ullrich

    原题: The
    Ascoli-Arzel\`a Theorem via Tychonoff's Theorem.
    译自: The Amer. Math. Monthly, Vol.110 (2003), No.10, p.939--940.

    这篇短文的目的是指出, 可以作为Tychonoff定理(即,任意多个紧空
    间的拓扑积是紧的---$\!$---译注)的一个直接推论而得
    到Ascoli-Arzel\`a定理.

    我们假设$K$是一个紧Hausdorff空间.令$C(K)$表示$K$上的复值连续
    函数空间.我们说,$C(K)$的一个子族$\cal F$是{\kaishu{逐点有界的}},
    如果对$K$中每个$x$存在$r(x) > 0$,使得对$\cal F$中的每个$f$有
    $|f(x)| \leq r(x)$; $\cal F$是{\kaishu{等度连续的}},如果对$K$中
    的每个$x$和$\epsilon > 0$,存在$x$的一个邻域$U$,使得对$\cal F$中
    所有的$f$和所有的$y \in U$,有$|f(x) - f(y)| < \epsilon$.

    {\heiti\bf{定理(Ascoli-Arzel\`a)}} \ \ {\kaishu{若$K$是一个紧
    Hausdorff空间,那么$C(K)$中任何逐点有界并且等度连续的函数序列有一个子
    序列在$K$上一致收敛.}}

    {\heiti{证明}} \ \ 假设对$K$中的每个$x$, 有$r(x) > 0$,并假设对$K$中
    的每个$x$和$\epsilon > 0$,存在$x$的一个邻域$\omega (x, \epsilon)$.
    令$\cal F$表示所有函数$f: K \to {\Bbb C}$的族,使得对$K$中所有$x$有
    $|f(x)| \leq r(x)$,并且当$y \in \omega (x, \epsilon)$时有
    $|f(x) - f(y)| \leq \epsilon$.由于紧度量空间中任何序列都有收敛
    的子序列,因而我们只需证明(在一致收敛拓扑下)$\cal F$是$C(K)$的一个
    紧子集.

    首先注意${\cal F} \subset C(K)$,因为从$\cal F$的定义显然有$\cal F$的每个元素
    是连续的.同样也注意到${\cal F}$被包含在
    $\prod_{x \in K}{\overline D}(0, r(x))$中,其中
    ${\overline D}(0, r(x))$是复平面中圆心在原点半径为$r(x)$的闭
    圆盘.令${\cal F}_1$表示作为$C(K)$子空间具有一致收敛拓扑的$\cal F$,
    ${\cal F}_2$表示作为$\prod_{x \in K}{\overline D}(0, r(x))$的
    子空间具有子空间拓扑的$\cal F$.我们将证明,${\cal F}_2$是
    $\prod_{x \in K}{\overline D}(0, r(x))$的一个闭子空间,且从
    ${\cal F}_2$到${\cal F}_1$的恒同映射是连续的.这样从Tychonoff定
    理就得到${\cal F}_2$(因而${\cal F}_1$)是紧的.

    ``${\cal F}_2$是$\prod_{x \in K}{\overline D}(0, r(x))$的一个闭子
    集''是清楚的:如果$< f_\alpha >_{\alpha \in A}$是${\cal F}_2$
    中的一个网,它在$\prod_{x \in K}{\overline D}(0, r(x))$中收敛到$f$,那么对$K$中
    每个$x$有$f_\alpha(x) \to f(x)$,因而$f \in {\cal F}_2$.

    证明从${\cal F}_2$
    到${\cal F}_1$的恒同映射是连续的可以像Ascoli-Arzel\`a定理传统的
    证明那样进行:假设$\epsilon > 0$. ``$K$是紧的''
    这一事实指出了,在$K$中存在有限多个点$x_1, \ldots, x_n$,使得
    $K = \bigcup_{j=1}^n \omega (x_j, \epsilon)$.这样,如果
    $< f_\alpha >_{\alpha \in A}$是收敛于$f$的${\cal F}_2$中的一个网,
    那么存在$\alpha_0 \in A$,使得对$j=1, \ldots, n$和
    $\alpha \geq \alpha_0$,有$|f_\alpha (x_j) - f(x_j)| < \epsilon$.
    现在,对于任何这样的$\alpha$和$K$中任何的$x$,在$\{1, \ldots, n\}$中
    我们可以选取$j$,使得$x \in \omega (x_j, \epsilon)$.由此即得
    $$|f_\alpha(x) - f(x)| \leq |f_\alpha(x) - f_\alpha(x_j)|
    + |f_\alpha(x_j) - f(x_j)| + |f(x_j) - f(x)| < 3\epsilon.$$
    于是我们知道当$\alpha \geq \alpha_0$时,总有
    $\|f_\alpha - f \| = \sup_{x \in K} |f_\alpha(x) - f(x)| \leq 3\epsilon$.
    \hfill $\blacksquare$
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  • 【引用地址】http://www.suanshu.net/test.aspx
  • 【关键字】由Tychonoff定理导出Ascoli-Arzel\`a定理
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