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  • $p$-adic Nevanlinna理论及最新进展
  • 作者:佚名
  • 发表日期:十月 01, 2007
  • 浏览:219次
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  • 编者导读:作者： Ha Huy Khoai，献给Le Van Thiem原题: A Survey on the $p$-adic Nevanlinna Theoryand Recent Articles. 译自: Acta Math. Vietnamica, Vol.27 (2002), No.3, p.321 -- 332.{\heiti\bf{摘要}} {\kaishu{我们主要介绍非阿基米德域上的Ne...
  • 作者： Ha Huy Khoai，献给Le Van Thiem

    原题: A Survey on the $p$-adic Nevanlinna Theoryand Recent Articles.
    译自: Acta Math. Vietnamica, Vol.27 (2002), No.3, p.321 -- 332.

    {\heiti\bf{摘要}} {\kaishu{我们主要介绍非阿基米德域上的Nevanlinna理论、它在$p$-adic双曲空间中的应用及亚纯函数的惟一性像集问题.}}}}

    {\sec{1.引 \ \ 言}}

    Nevanlinna理论是研究``{\kaishu{一个亚纯函数能取一维复射影空间${\Bbb P}^1$中每一个值$a$多少次}}''这样的问题,换句话说,``{\kaishu{怎样测量$f$的原像集$f^{-1}(a)$}}''?

    对此Hadamard给出了下面早期的结果:

    {\heiti\bf{Hadamard定理}} {\pt{国}}{\kaishu{若$f(z)$是$\Bbb C$上的全
    纯函数,那么
    $$f \, {\mbox{在}}\, \{ |z| \leq r\} \, {\mbox{内的零点个数}}
    \leq \log \max_{|z| \leq r} |f(z)| +O(1),
    $$
    其中$O(1)$依赖于$f$,但与$r$无关.}}

    上面结果并不``理想'',因为有以下两方面的缺陷:

    a)当$f$是亚纯函数时,上面不等式右边可能为无穷大,因此Hadamard定理失效,即不能用来估计$f$的零点.

    b)存在如$f(z)=e^z$这样的无零点函数,这时Hadamard定理又太平凡.

    为了弥补这些缺陷, R.~Nevanlinna 引入下面函数.

    {\subsec{1.1 \ \ 密指量函数}}
    取一个复数$a$,定义
    $$\align
    n(a, r) = & f(z)-a \, {\mbox{在}}\, \{|z| < r\} \,
    {\mbox{内的零点个数(重零点按重数计算)}},\
    & N(a, r)= \int_0^r \frac{n(a, t)-n(a, 0)}{t}dt +n(a, 0)\log r.
    \endalign$$

    {\subsec{1.2 \ \ 特征函数}}
    代替$\log \displaystyle \max_{|z| \leq r}|f(z)|$,我们考虑函数
    $$T(r)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \log^+ |f(re^{i\theta})| d\theta +N(\infty, r).$$
    这些函数满足下面不等式:
    $$N(a, r)\leq T(r)+O(1).$$
    该不等式对亚纯函数有效且非平凡.

    为了弥补第2个缺陷,注意到尽管函数$e^z$没有零点,但能取到许多``接近零''的值,我们能用下面函数``测量''这个值集.

    {\subsec{1.3 \ \ 平均中值函数}}
    $$m(a, r)=\frac{1}{2\pi}
    \int_0^{2\pi}\log^+ \Big|\frac{1}{f(re^{i\theta})-a}\Big| d\theta, $$
    其中$\log ^+ |\alpha|=\max(0, \log |\alpha|)$.

    显然,当$f(z)$接近$a$时,$m(a, r)$变大.

    在Nevanlinna理论中,两个``基本定理''和亏量关系是核心内容.

    全文见 数学译林
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  • 【引用地址】http://www.suanshu.net/test.aspx
  • 【关键字】$p$-adic Nevanlinna理论及最新进展
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