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  • 零点定理的Munshi证明
  • 作者:佚名
  • 发表日期:十月 01, 2007
  • 浏览:187次
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  • 编者导读:作者：J. Peter May原题: Munshi's Proof of the Nullstellensatz. 译自: The Amer. Math. Monthly, Vol.110(2003), No.2, p.133--140.\sec{1. 介 \ \ 绍} 顺着Ritabrata Munshi [5]的思路并且使用Kaplansky的书[3]中的一些摘录,我们面向大学生们提供一个最短...
  • 作者：J. Peter May

    原题: Munshi's Proof of the Nullstellensatz.
    译自: The Amer. Math. Monthly, Vol.110(2003), No.2, p.133--140.

    \sec{1. 介 \ \ 绍}
    顺着Ritabrata Munshi [5]的思路并且使用Kaplansky的书[3]中的一些摘录,
    我们面向大学生们提供一个最短的零点定理的证明.关于零点定理的一些历
    史评论可见第7节.

    我们假设读者熟悉交换环、交换整环、域、交换整环的分式域的定
    义.字母$R$总表示一个交换整环,$K$表示它的分式域.我们也假设读者熟悉
    理想这个概念.本文中,一个$R$--代数$A$意指一个以$R$为子环的交换
    环$A$.多项式$R$-代数$R[x_1, \ldots, x_n]$可以看作
    $R[x_1][x_2, \ldots, x_n]$或者
    $R[x_1, \ldots, x_{n-1}][x_n].\, R[x_1, \ldots, x_n]$中
    的多项式有针对单个变量的次数和总的次数.设零多项式的(总)次数为
    $-\infty$是方便的.对$R[x]$中所有多项式$f$和$g$,
    我们有
    $$\deg \, (fg)=\deg \, (f)+\deg \, (g)$$
    和
    $$\deg \, (f+g)\le \max \, (\deg \, (f),\deg \, (g)).$$
    对有关多项式的结果的证明常常进行归纳论证,通过适当的线性组合以降低
    多项式的次数.零点定理的Munshi新证明极大地体现了这个简单的想法,在面
    对许多变量的时候,运用了一种简洁精密的方法进行这样的归纳.

    \sec{2. 预备知识}

    在解释Munshi的证明以前,我们总结一下将在论证中隐含或者明显地用到的
    交换整环的相关经典结果.

    {\heiti\bf{命题2.1}}{\pt{国}} {\kaishu{环$R[x_1, \ldots, x_n]$是交
    换整环.}}

    对$n$使用归纳法,只要对$n=1$的情况证明即可.这时,$\deg(fg)\ge 0$
    当且仅当$\deg(f)\ge 0$和$\deg(g)\ge 0$都成立,那意味着$fg\ne0$当且仅
    当$f\ne 0$和$g\ne 0$都成立.

    我们回忆一下,$R$的一个(真)理想$P$是{\kaishu{素的}},如果$xy\in P$意味着$x\in P$
    或者$y\in P; \, P$是{\kaishu{极大的}},如果它不真包含在一个更大的(真)理想中.一
    个极大理想是一个素理想.交换整环$R$的一个元$p$是{\kaishu{不可约的}},如果它不是
    0也不是一个单位,而且$p=ab$意味着$a$或者$b$是一个单位.这是对${\Bbb Z}$中素
    数概念的一种适当推广.还有另一种推广.一个元$p$是{\kaishu{素的}},如果{\kaishu{主理想}}
    $(p)=\{rp \, | \, r\in R\}$是素理想.

    {\heiti\bf{命题2.2}}{\pt{国}} {\kaishu{每个素元是不可约的,但反过
    来不对.}}

    一个交换整环$R$是一个{\kaishu{主理想整环}}(PID),如果$R$的每个理想是主理想.这
    时,由于下面更强的结果,命题的逆成立.

    {\heiti\bf{命题2.3}}{\pt{国}} {\kaishu{如果$R$是PID,那么$p$是不可
    约的当且仅当$(p)$是极大的.}}

    事实上,如果$(p)\subset (q)$,那么$p=rq$,而且如果$p$是不可约的,那么$r$一定
    是一个单位,从而$(p)=(q)$.

    {\heiti\bf{命题2.4}}{\pt{国}} {\kaishu{如果$F$是一个域,那么$F[x]$是
    一个PID.}}

    一个交换整环$R$是{\kaishu{唯一分解整环}}(UFD),如果一个非单位的非零元$a$能写成
    不可约元的有限乘积,除了因子的顺序和被单位乘外是唯一的.那就是,如果
    $a=p_1\cdots p_m$而且$a=q_1\cdots q_n$,那么$m=n$,并且在重新排序后有
    $q_i=u_ip_i$,这里$u_i$是某个单位.

    {\heiti\bf{定理2.5}}{\pt{国}} {\kaishu{每个主理想交换整环是一个唯一
    分解交换整环.}}

    {\heiti\bf{定理2.6}}{\pt{国}} {\kaishu{如果$R$是唯一分解交换整环,那
    么$R[x_1, \ldots, x_n]$也是.}}

    证明也是对$n$进行归纳.当然,如果UFD被PID代替,定理2.6是错误的,因
    为$x_1$可以是一个使得$(x_1)$不是极大理想的不可约元.

    全文见 数学译林
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  • 【引用地址】http://www.suanshu.net/test.aspx
  • 【关键字】零点定理的Munshi证明
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