（原题:Some"Facts"That Evaporate Upon Examination）

BenoitB.Mandelbrot

 看看数学的历史,数学界回到了具有灵活性和多元论的时代,每一个人有权利表明他的心情.StevenG.Krantz只要他有权发表意见,那么他就应该听听别人的反应.我的反应不是要为H.-O.Peitgen,P.H.Richter和D.Saupe辩解,他们只是写了他们自己想写的书.我只不过想对krantz用来支持他对分形作评论的一些“事实”作些说明.

 关于krantz文章的参考文献中提到的Brooks-Matelski的工作.Krantz说,"''''Mandelbrot集''''并不是Mandelbrot发明的，在''''Mandelbrot集''''这个词被制造出数年之前在文献中就有这一概念了."正如大家所知,我在1979-1980年就"发明"了这个集合,其全文发表于1980年(发表在纽约科学院年刊中,这一篇论文被很多人引用).而A.Douadayt J.H.Hubbard使用该词是在1982年,发生在我的论文"数年"之后.然而,让我们看看Krantz引用的R.Brooks和J.P.Matelski在1981年的文章.我把他们文章中有关分形的段落详细地节录在这里:

    A)"Fatou-Julia使我们可能利用计算机画出...由c:z2+c有稳定周期轨道定义的C的区域."(注意这一区域现在记为M0).

    B)"我们感谢Henrylaufer建议并建议并帮助我们利用计算机".

    C)（''''Mandelbrot集''''的原始图）

    D)使f(z)=z^2+c有一个稳定周期轨道的c的集合.(注意,这是C)中所示图形的说明.)

  这说明该文有关分形的全部文字.初看一下C,它所显示的区域(原图要大一些)不是M^0.事实上,根据实验得到的M^0(它是非常难计算的)是由许多大的不相连接的碎片组成的.审稿人或者作者再次考虑后认为应该修正.最有趣的事是,作者的朋友提出了M的一个粗糙的版本,使他们能证明某些特殊的部题,但是产对图形没有作考虑.

    相反,由于我长时间研究类似的问题,驱使我思考我的问题的实质.1979年和1989年，我在哈佛.麻省理工学院,以及美国数学会关于W.Thurston工作的夏季讨论会,(或许更重要的是)在orsay(巴黎南方省)和Bures(I.H.E.S)上作了关于M集的报告.由于Douady的要求,我花费了许多少时和吃饭时间极详细地对他讲述M集.这些讨论使他放下他和Hu-bbard以前一直在做的迭代理论的工作,实际上他们两人对迭代理已作了重要的贡献.后来,我又在D.Sullivan的CUNY讨论班上以及在普林斯向J.Milnor和W.Thurston作介绍.在当时,讨论中的集合还不曾归功于任何人.

    J.Milnor最近发表一篇重要文章罗列了我提出过的一些部题,作为至今还未解决的重大问题.最终,所有这些导致建立了"巨型(电子)计算机几何结构设计"这项目,我是这项目的发起成员之一,发起者还有Douady,Hubbard,Milnou和Thurston....

    Krantz现在勉强承认我是"善于设计优美部题的",并认为上面担到的一些人的工作"是当代完成的一些最好的数学工作".

    关于Krantz文章中引用Kadanoff的引文.关于kadnanlff发表在1986年2月"今日物理学"上的章,如果不管上下文的意思,似乎可以作为抹杀分形对物理学贡献的依据.但是,这不是一个局外人的公正的羊断,只要按上下文意思才能了解Kadanoff的原Ka-danoffc以前曾作过,现在继续在作关于分形的杰出报告,并成功地参加了实质上涉及分形的物理部题研究.

    例如在"今日物理 "1986年4月的那期上,有一条由纺辑签发的"消息"为"描写扰动导致新的全面分形形式体系",报告了Kadanoff和他在芝加哥的同事们所作的某些出色的实验工作.(用Krantz的话来说,"是已完成的一些最好的物理研究".)这里摘录了一段,说明启发这工作并有助于实验解释的数学方法的背景.

    在某种程度上是由于Benoit B.Mandelbrot(IBM)十年前开创性的研究工作,合得分形系统的工作近来十分活跃.这里形式化地描写全局分形结构的其本思想起源于Uriel Fr-isch(Nice观象台)和Giorgio Parisi(罗马在学)关于扰动合理增加研究。

    可以附加说明一下,Frisch和Parisi称他们的新形式化为"多重分形",这已为在家所接受.另外,他们的论文以清晰的条理描写了这种形式化是如何从我写于1974年的一篇论文中的数学推导中发展出来的,文章最后指出,我的数学结论比他们的形式化要广.

    这并不地声称分形征服 物理(从来也这样的意图),而是说物理学容许有不同的观点.

    关于Krantz文章中提到的"Weierstrass-Mandelbrot"函数.这函数的确是Weierstrass函数W(t)的小小变形,在数学上改动不在,以前一定有人已写过这公式.那么为什么著名的物理学家Michael Berry要加上我的名字呢?因为这非常自然的变形具有W(t)没有的自仿射性性质,这些性质在许多应用中是有本质意义的.如何命名W(t)的变形这种小部题是Krantz提出的许多部题之一,似乎这是一种毁灭性的批评,而一经分析后这些就算不上会么了.

    "用他自己的话,他是一位科学哲学家".这又是Krantz加于我的许多论断之一,这些论断不顾及明明白白的我已出版的工作所表明的完全相反的结论,建议读者根本不要理他.毫无疑问,Krantz厌恶科学家".因为他们只是主粮化和批辊人所做的工作,而我恰恰是一个实干家.我的工作及由我工作所引起的其他人的工作不是发表在哲学杂志上而是那些实实在在的数学.科学和艺术的杂志上.

    在有些部题上我同Krantz有同感.我也不同意说"Mandelbrot集补认为是至今看到的最为复杂的数学研究对象."事实上,如果从字面上去理解"看到"是用眼睛的话,这说法可能村的,但肯定原话并不是这种意思.原话中提到"最为复杂的数学研究对象",这是Hubbard说的(A.K.Dewdney在"科学美国人"1989年8月一期上引了这段话).

    最后我利用这一机会就某些方面对Krantz作些肯定.他声言道"在自然界中......有丰富的分形,......也许最著名的例子......是英格兰的海岸线."这是我的 界的分形几何"中的一个基本思想.因而长期的努力,在一片不毛之地上播下种子还是会开出一朵鲜花的.我的工作第二个基本思想是自然界的许多几何形状是太复杂了,甚至比分形还要复杂.

    总之,Krantz过分重视对老的分类作出定义,对化们规定鲜狭窄的范围,然后企图将新发现的实归到这些狭窄的分类之下.如果我只是证明了少数几个定理的话,那么用这些定理很难发现现在还没有创立的或潜在的研究信念领域(参看我在华沙国际数学家大会上的发言).我的一个"容易"的定理回答了自从Poincare定义了克莱因群的极限集后一直处于未解决状态的一个问题.通常,我只是解决了一些简单情况,而许多人从解难的情形中得到乐趣.

    但是,如何定义现代的数学,以及是否把我看成是数学家,这些不是重要的.相反,重要的是,我在不同的领域中"追了的问题"而得到的结晨.在这意义明确的主流中每一问题的技术方面的影响只是事物的一方面.事手的另中方在这意义明确的主流中每一问题的技术方面的影响只是事物的一方面.事手的另一方面,这些不同领域中的问题并不是隔离的和偶然,而是似乎出自于同一个源泉,这问题吸引了许多人但并不是所有的人都关心的.

    作为结束语,提一下我在1989年夏天发表在(数学通信者)上的评论文章,它同Krantz提出的问题也有些关系.另外,在皇家学会(伦敦)会议录的1989年5月8日一期A刊上有一长列书名(都属于比较早期的),从各个角度详细说明了Krantz所作的论断是不成立的.最后,懂法语的读者可能会关心,我于1979年写的书les objectsfractals正要出第三版,其中有一个综述,它进一步说明了在伦敦皇家学会O.P.Cit上作的评注.这样,我在这里表述的我目前对分形几何的观点是有证据的,当然也说明了我在分形几何方面成就.

Steven G.Krantz 的回答

    Brooks和Matelski的思想是在1979年的一次会议上提出的,至于Mandelbrot的早期贡献可能在1979年到1980年间."今日物理"的编辑Barbara Levi在1986年4月的文章中介绍了leo Kadanoff的工作,这工作用的是统计力学方法而不是分形几何.Levi在描述这一深刻的科学研究工作时决定利用分形的语言,Mandexbrot就以此为据,正好说明了分形几何学家借用其他学科的出色成果来反映分这说重要性的一种倾向.

(原载《数学译林》，1992年第4期，章祥荪译 井竹君校)

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