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  • 三角函数最值问题的探究
  • 作者:佚名
  • 发表日期:十一月 01, 2007
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  • 编者导读:三角函数的最值问题题型广，涉及的知识面宽，而且在解法上灵活多变，能较好地体现数学思想方法的应用，因而一直是高考的热点和重点。
  • 三角函数的最值问题题型广，涉及的知识面宽，而且在解法上灵活多变，能较好地体现数学思想方法的应用，因而一直是高考的热点和重点。
    一、化为y=Asin(ωx+ψ)求最值
    这类函数的定义域、值域、图象、周期性、单调性、最值构成了三角函数中最基本的内容，因而是求最值的重要方法。
    例1、（1996年高考题）当－π2≤x≤π2时，函数f(x)=sinx+3 cosx的（   ）
    A、最大值是2，最小值是－2         B、最大值是1，最小值是－12 
    C、最大值是1，是小值是－1         D、最大值是2，最小值是－1
    简解：f(x)=sinx+3 cosx=2sin(x+π3 )
    Θ－π2≤x≤π2,   ∴－π6 ≤x+ π3 ≤5π6 
    ∴－12 ≤(x+π3 )≤1,从而－1≤f(x)≤2，故选（D）。
    评析（1）形如y=αsinx+bcosx的函数可化为函数y=a2+b2 sin(x+ψ)（其中cosψ=aa2+b2 ,sinψ=ba2+b2 ）。
    例2（2000年高考题）已知函数y=12 cos2x+ 32 sinxcosx+1,x∈R。
    （1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
    （2）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
    （1）简解：所给函数可化为
    y= 14 cos2x+ 34 sin2x+ 54 =12 sin(2x+ π6 )+ 54 。
    y取得最大值必须且只需2x + π6 =2kπ+ π2 , 即x=kπ+ π6 (k∈z)，故所求集合为{x︱x=kπ+π6 , k∈z}。此时y的最大值= 74 
    例7 求函数y= 2－sinx2－cosx 的最值
    解：运用正余弦函数的有界性求解。
    去分母得：sinx+ycosx=2－2y
    即：sin(x+ψ)= 2－2y1+y2 
    ∵︱sin（x+ψ）︱≤1
    ∴∣2－2y1+y2 ︱≤1
    解之得：4－73 ≤y≤4+73 
    故ymin= 4－73 , ymax= 4+73 
    借助y=Asin（ωx+ψ）的有界性，可解决三角函数最值问题.
    二、化为二次函数求最值
    这类问题的求解思路为通过换元，转化为二次函数在某一区间上的最值问题，利用二次函数的图象和性质求最值.
    例3 函数y=cos2－3cosx+2 的最小值是（  ）（1997年高考题）
    A．2         B．0        C．－14         D．6
    解：设cosx=t∈[－1，1]，则原函数可化为
    f（t）=t2－3t+2，t∈[－1，1]
    f（t）=（t－32 ）2－14 
    此函数在[－1，1]上为减函数。
    ∴f（t）的最小值为f(1)=0。
    即原函数的最小值为0，故选（B）
    例4 函数y=sinxcox+sinx+cosx的最大值是       。（1992年高考题）
    解：设sinx+cosx=t，则t∈[－2 ,2 ]，sinxcosx= t2－12 ，于是原函数转化为：
    f（t）= t2－12 +t= 12 (t+1)2－1 , t∈[－2 ,2 ]  , ∴当t=2 时，f（t）的最大值为f（2 ）= 12 + 2 。
    即原函数的最大值为12 + 2 。
    三、利用基本不等式求最值
    例5 设复数z=3cosθ+isinθ，求函数y=tan(θ－argz)(0<θ<π2)的最大值及对应的θ的值。（1999年高考题）
    解：由0<θ<π2得tan>θ
    由z=3cosθ+isinθ得
    tan(argz)=sinθ3cosθ =13 tanθ
    故y=tan(θ－argz)
    = tanθ－13tanθ1+ 13tan2θ 
    =23tanθ +tanθ
    ∵3tanθ +tanθ≥23 
    ∴23tanθ +tanθ ≤33 
    当且仅当3tanθ =tanθ(0<θ<π2)时，
    即tanθ=3 时，上式取等号。
    所以当θ= π3 时，函数y取得最大值33 .
    四、利用函数的单调性求最值
    例6 求函数y=sinx+ 2sinx (0＜x＜π)最小值。
    分析：此函数虽满足均值不等式求最值的前两个条件，但不能保证第三个条件sinx=2 成立，故需转化为特殊函数y=x+ ax 型，利用函数单调性求解。
    设sinx= t∈(0,1］,函数y= t+ 2t 在t∈(0,1］上是减函数，所以t=1即sinx=1时，ymin=3.
    以上只是归纳了求三角函数最值的几种常用的方法，象数形结合法、构造法等数学方法也可作为求三角函数最值的一种补充，这里不在赘述。
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  • 【引用地址】http://www.suanshu.net/test.aspx
  • 【关键字】三角函数y=Asin(ωx+ψ)二次函数求最值
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