3.关于不等式及不定方程的整数解

例7（1985年武汉市初一数学竞赛题）把若干颗花生分给若干只猴子，如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子得不到5颗，求猴子的只数和花生的颗数.

解：设有x只猴子和y颗花生，则：

                      y-3x=8,            ①

                      5x-y＜5，          ②

   由①得：y=8+3x,                       ③

③代入②得5x-(8+3x)＜5,

∴               x＜6.5

因为y与x都是正整数，所以x可能为6，5，4，3，2，1，相应地求出y的值为26，23，20，17，14，11.

经检验知，只有x=5，y=23和x=6，y=26这两组解符合题意.

答：有五只猴子，23颗花生，或者有六只猴子，26颗花生.

例8（1986年上海初中数学竞赛题）在一次射箭比赛中，已知小王与小张三次中靶环数的积都是36，且总环数相等，还已知小王的最高环数比小张的最高环数多（中箭的环数是不超过10的自然数），则小王的三次射箭的环数从小到大排列是多少？

解  设小王和小张三次中靶的环数分别是x、y、z和a、b、c,不妨设x≤y≤z，a≤b≤c，由题意，有：

因为环数为不超过10的自然数，首先有z≠10，否则与①式矛盾.

若设z=9,则由①知：xy=4,

∴x=2,y=2,或x=1,y=4,

∴x+y+z=13或x+y+z=14.

又由②及c＜z知，c|36，∴c=6，这时，ab=6.

∴a=2，b=3，或a=1，b=6

∴a+b+c=11或a+b+c=13

又由③知：x+y+z=a+b+c=13

∴取x=2，y=2，z=9.

答：小王的环数分别为2环，2环，9环.

例9（1980年苏联全俄第6届中学生物理数学竞赛题）一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的乘客人数相等，起初，每辆汽车乘了22人，结果剩下一人未上车；如果有一辆汽车空车开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上，已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？

解  设起初有汽车k辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘的旅客为n名，显然，k≥2，n≤32，由题意，知：22k+1=n(k-1)，

∴k-1=1，或k-1=23,

即k=2，或k=24.

当k=2时，n=45不合题意，

当k=24时,n=23合题意，

这时旅客人数为n(k-1)=529.

答：起初有24辆汽车，有529名旅客