近年来，各级各类数学竞赛中频频出现线性规划问题。所谓线性规划，是指求线性函数在线性(不等式或等式)约束下达最(小或大)值的问题。线性规划广泛应用于工农业、军事、交通运输、决策管理与规划、科学实验等领域。本文拟通过竞赛试题介绍常用的解题思路和方法。

一、运用数量关系解题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　例1某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台。已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少(以千元为单位)？

(1997，第十二届江苏省初中数学竞赛)

解：设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，每周产值为f元，则

f=4x+3y+2z.

其中x、y、z满足

由①、②得y=360—3x，z=2x.

则由

得30≤x≤120.

故f=3(x+y+z)+x—z=1080—x.

当x=30时，fmax=1080—30=1050.

从而，y=270，z=60.

即每周生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最高，最高产值为1050千元。

二、运用图表作业解题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　例2A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台和8台。现在决定把这些机器支援给D市18台、E市10台。已知从A市调运一台机器到D市、E市的运费分别为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费分别为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费分别为400元和500元。

⑴设从A市、B市各调x台机器到D市,当28台机器全部调运完毕后,求总运费W(元)关于x(台)的函数式,并求W的最小值和最大值；

⑵设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器全部调运完毕后，用x、y表示总运费W(元)，并求W的最小值和最大值。

(1998，全国初中数学竞赛)

解：⑴⑵这两问都可以运用数量关系解题，具体解法参见《中等数学》1998年第3期第34页或1999年第4期第3页文。

下面以第⑵问为例说明运用图表作业解题。

⑵(表上作业法)

由题意，易得W(x，y)=17200—500x—300y.

Ⅰ.求最小总运费Wmin.

表中对于D市、E市可供货的A、B、C三地进行比较，逐次选取较小运费地，尽可能的调运，得调运方案如表1所示：

即当x=10，y=8时，最小总运费Wmin=9800(元)。

Ⅱ.求最大总运费Wmax.

类似地，可得调运方案如表2所示：

即当x=0，y=10时，最大总运费Wmax=14200(元)。

(图上作业法)

由题意，易得W(x，y)=17200—500x—300y.

Ⅰ.求最小总运费Wmin.

图中所标运费可以看作是单位运量。供量用正数表示，需量则用负数表示，对于D市、E市可供货的A、B、C三地进行比较，逐次选取单位运量较小的，尽可能的调运，得调运方案如图1所示：

即当x=10，y=8时，最小总运费Wmin=9800(元)。

Ⅱ.求最大总运费Wmax.

类似地，可得调运方案如图2所示：

即当x=0，y=10时，最大总运费Wmax=14200(元)。

三、运用图象性质解题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　例3某工厂制造A、B两种产品，制造产品A每吨需用煤9吨，电力4千瓦，3个工作日；制造产品B每吨需用煤5吨，电力5千瓦，10个工作日。已知制造产品A和B每吨分别获利7千元和12千元，现在该厂由于条件限制，只有煤360吨，电力200千瓦，工作日300个可以利用，问A、B两种产品各应生产多少吨才能获利最大？最大利润是多少？

解：设A、B两种产品分别生产x吨、y吨，利润为f千元，则

f=7x+12y.

其中x、y满足

如图3所示，阴影部分即为这个线性规划问题的可行区域。

∵—4/5<—7/12<—3/10，

∴平行直线系f=7x+12y过点A(20，24)即当x=20，y=24时，fmax=7×20+12×24=140+288=428(千元)。

即产品A生产20吨，产品B生产24吨，获利最大，最大利润为428千元。

四、运用枚举验证解题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　例4某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房。大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元。如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？最大收益是多少？

解：设隔出大、小房间分别为x间、y间，收益为f元，则

f=200x+150y.

其中x、y满足

如图4所示，由图解法易得f=200x+150y过点A(23/7，63/7)时，目标函数f取得最大值。

但x、y必须是整数，还需在可行区域内找出使目标函数f取得最大值的整点。

显然目标函数f取得最大值的整点一定是分布在可行区域的右上侧，则利用枚举法即可求出整点最优解。

这些整点有：(0，12)，(1，10)，(2，9)，(3，8)，(4，6)，(5，5)，(6，3)，(7，1)，(8，0)，分别代入f=200x+150y，逐一验证，可得取整点(0，12)或(3，8)时，fmax=200×0+150×12=200×3+150×8=1800(元)。

所以要获得最大收益，有两种方案：

Ⅰ.只隔出小房间12间；

Ⅱ.隔出大房间3间，小房间8间。

最大收益为1800元。