发布时间：2005年7月23日 11时19分

【例1】  把自然数的前五个数①排成1，2，3，4，5；②排成5，4，3，2，1；③排成3，1，4，2，5；④排成2，3，1，4，5。那么可以叫做数列的有                                      [    ]

A．①

B．①②

C．①②③

D．①②③④

分析  数列的定义中所说的“一定次序”不是要求按自然数次序，所以①②③④四种排列都叫数列。

答案：D。

【例2】  在数列a1，a2，…an…的每相邻两项中，插入3个数，使

它们与原数列构成一个新数列，则新数列的第29项 [    ]

A．不是原数列的项

B．是原数列的第7项

C．是原数列的第8项

D．是原数列的第9项

分析  设新数列的第29项是原数列的第k项。

则有k+(k-1)·3=29

所以k=8

答案：C。

【例3】  已知Sk表示数列{an}的前k项和，且Sk+Sk+1=ak+1(k∈N)，

那么此数列是 [    ]

A．递增数列

B．递减数列

C．常数列

D．摆动数列

分析  由数列性质知：ak+1=Sk+1-Sk

因为  ak+1=Sk+1+Sk所以Sk+1-Sk=Sk+1+Sk，则有Sk=0(k∈N)

所以  数列{an}为常数列

答案：C。

【例4】  已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn+1)=n+1，

试求数列的通项公式。

分析  这是一个已知数列的前n项和求数列的通项公式问题，应先解对数方程求出Sn，然后用an=Sn-Sn-1去求an。

解  ∵Sn满足log2(Sn+1)=n+1

∴有Sn=2n+1-1，∴a1=3

Sn=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1

=2·2n-2n=2n

★说明  这一例题的易错处是忽略了先求出a1，而直接把数列的通项公式写成an=2n(n∈N)的形式。应注意的地方是在求出Sn的表达式后先用a1=S1求出a1=3，然后再利用an=Sn-Sn-1求出an=2n，a1应单独加以说明。

的数值最大的项。

分析  首先由数列{an}的通项式来说明数列{an}的单调性，从而

分析出哪一项数值最大，然后求出这一项的数值。

=-0.3(2n-1)+2

当n≥4时，an-an-1＜0，数列递减

当n≤3时，an-an-1＞0，数列递增

而a4-a3＜0，∴数值最大的项为a3

★说明  这一例题的易错处是不会判定数列{an}的单调性，从而无法得出哪一项的值最大。应注意的地方是用an-an-1＞0或＜0来说明数列的单调性，再由a4-a3＜0从而确定a3的值最大。

【例6】  设函数f(x)=log2x-logx2(0＜x＜1)，数列an

满足f(2an)=2n(n=1，2，3…)。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)判定数列{an}的单调性。

分析  (1)利用f(2an)=2n建立关于an的一元二次方程，并

结合0＜x＜1的范围求出{an}的通项公式。(2)数列是一种

特殊的函数，判定数列的单调性和判定函数的单调性

方法是相同的，只须比较an和an+1的大小即可。

∵0＜x＜1，即0＜2an＜1

而an＜0(n=1，2，3，…)

∴an+1＞an，可知数列{an}是递增数列。

没有利用0＜x＜1这一条件来说明0＜2an＜1，从而知an＜0，∴an

列{an}的单调性。应注意的地方是对条件0＜x＜1的利用，

以及用商比法来说明数列的单调性等。

【例7】  已知数列{an}满足a1=2，an+1-an+1=0，(n∈N)，

则此数列的通项公式an等于  [    ]

A．n2+1

B．n+1

C．1-n

D．3-n

分析  因为an+1-an+1=0，所以有an+1-an=-1，即数列后项减

前项等于常数-1，则数列{an}成等差数列，首项为a1=2，

公差d=-1。

∴an=2+(n-1)×(-1)=3-n

答案：D。