发布时间：2005年7月21日 9时46分

分析一  直接用二项式定理展开．

分析二  变换化简后展开

例2  求(1+x)2·(1-x)5展开式中x3的系数．

分析一  变换→部分展开→确定系数．

解法一  (1+2)x2·(1-x)5=(1+x2)2·(1-x)3

=(1+2x+x4)·(1-3x+3x2-x3)

∴x3系数=1×(-1)+(-2)×(-3)=5

分析二  利用通项公式．

其中(r∈{0，1，2}，k∈{0，1，2，3，4}，令k+r=3．

分析  先明确求展开式中的哪几项，进而求出这些项．

解  展开式中的有理项，即为通项公式中x的指数为整数的项．

∴r=3或r=9

例4  求(1+2x)4(1-x)5展开式中按升幂排列的前三项．

分析  展开式中按升幂排列的前三项应是常数项、一次项、二次项，一般都是将(1+2x)4和(1-x)5分别按升幂展开，然后求它的乘积的前三项．

解  (1+2x)4=1+4×(2x)+6×(2x)2+…

(1-x)5=1+5×(-x)+10(-x)2+…

(1+2x)4(1-x)5=(1+8x+24x2+…)(1-5x+10x2-…)

=1+3x-6x2+…

所以展开式中按升幂排列的前三项是1，3x，-6x2．

例5  求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x2的系数．

解一  ∵a1=(x-1)，q=-(x-1)，

S5=(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5

∴展开式中x2的系数为-20

例6  求199911除以8的余数．

解  ∵1999=2000-1=8×250-1

∴199911=(8×250-1)11

由上面展开式可知199911除以8的余数是7．

例7  求0.9986的近似值，使误差小于0.001．

分析  求0.9986的近似值一般都是把它化为(1-0.002)6，再用二项式定理展开．

解  0.9986=(1-0.002)6

=1+6·(-0.002)+15·(-0.002)2+…+(-0.002)6

≈1+6·(-0.002)=1-0.012=0.988

说明  展开式的第三项T3=15×(-0.002)2=0.00006＜0.001．第三项以后的绝对值就更小了，所以从第三项起可以忽略不计．