发布时间：2005年7月20日 16时09分

例8-3-1  当n≥1时，证明：

Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2n-1

解  设S1=Cn0+Cn2+Cn4+…，S2=Cn1+Cn3+Cn5+…。由于

S1+S2=2n                                                                               (i) S1 - S2=0

(ii)

由(i)+(ii)可得S1=2n-1。再代入(ii)，又得S2=2n-1。所以S1=S2。

例8-3-2  证明：

(1)Pnm+mPnm-1=Pn+1m

(2)2Cn2+9Cn3+12Cn4+5Cn5=nCn+24

解  由于18是偶数，根据二项式系数的性质，若C18k=C18m，只有k=m或k=18-m这两种可能。结合本题：由C18m=C18m+2得n+2=18-n，即n=8。

又由2Cm2=Cm+12得

于是，

例8-3-4  解不等式

(1)Cx-12-x＜7

(2)C4nn+5＜C2n+74n

解  (1)由组合概念知x-1≥2，即x≥3。则

考虑到x为不小于3的正整数，可知原不等式的解集为{3，4，5，6}。

经验算此不等式解集为{2，3}。

例8-3-5  证明：Cm0Cnk+Cm1Cnk-1+Cm2Cnk-2+…+CmkCn0=Cn+mk。

证  构造一个数学模型。

设袋中有n+m个球，其中红球n个，白球m个。现从中任取k个(k≤min{m，n})，那么共有Cn+mk种不同取法。

另一方面，用分类的方法考虑这个问题。可分成k+1类：第1类，k个红球；第2类，k-1个红球，1个白球；第3类，k-2个红球，2个白球；…；第k+1类，0个红球，k个白球。于是取法总数为CnkCm0+Cnk-1Cm1+…+Cn0Cmk。

但这两种算法结果应是相等的，因此等式成立。