例8-4-1  有4名男生，5名女生。

(1)全体排成一行有多少种不同排法？

(2)选其中5名排成一行有多少种不同排法？

(3)全体排成一行，其中甲不能排在两头，也不能排在中间，有多少种不同排法？

(4)全体排成一行，甲只能排在两头，有多少种不同排法？

(5)全体排成一行，甲不在最左边，乙不在最右边，有多少种不同排法？

(6)全体排成一行，男女相间有多少种不同排法？

(7)全体排成一行，男生，女生各在一起，有多少种不同排法？

解  (1)P99  (2)P95

(3)共9个位置，先排甲的位置。由于甲不能在两头，又不能在中间。因此只能从剩下的6个位置中选一个，有C96种选法，剩下8个人有P88种排法，故所求排法总数为C96P88。

(4)先排甲。甲的位置有C21种选法，其他人有P88种排法。故共有C21P88种排法。

(5)分两类：①乙排在最左，共有P88种；②甲，乙都不在最左，且乙不在最右，那么乙先从中间7个位置选一个，甲再从除最左以外的其余7个位置选一个，再将其余7个元素作全排列，共有C71C71P77种排法。因此所求总数为

P88+C71C71P77

(6)先排女生，共有P55种排法。5个女生之间有4个空隙，插入男生共有P44种排法。因此所求总数为P55P44。

(7)先把男生连在一起看成一个元素，女生也连在一起看成一个元素，这两元素共有P22种排法。男生内部有P55种排法，女生内部也有P44种排法。因此所求总数为P22P55P44。

例8-4-2  (1)有n个男生与n个女生排成一行，男女相间，共有多少种排法？

(2)有n个相同红球，n个相同白球，红白相间排成一行，共有多少种不同排法？

(3)有n+1个男生与n个女生排成一行，男女相间，共有多少种不同排法？

(4)有n+1个相同红球与n个相同白球排成一排，红白相间，共有多少种排法？

(5)有n+m个男生(m≥1)，有n个女生，排成一排，其中没有两个女生相邻的排法共有多少种？

(6)有n+m个相同红球(m≥1)，n个相同白球，排成一排，其中没有两个白球相邻的排法共有多少种？

解  (1)设想有2n个位置，分成两类：①男生站奇号位，女生站偶号位，不同排法总数为PnnPnn；②女生站奇号位，男生站偶号位，排法也有PnnPnn种。

故所求总数为2PnnPnn。

(2)类似上述，由于红球无区别，白球也无区别，因此上述每类只有一种排法。故所求总数为2。

(3)设想有2n+1个位置，要形成男女相间，只有男生站奇号位，女生站偶号位。故所求总数为Pn+1n+1Pnn。

(4)按(3)的设想，所求总数为1。

(5)先排男生共有Pn+mn+m种不同排法。男生之间的间隔总数为n+m+1个(把排列整排列的左、右均视作一个“间隔”，即看作“空男空男…空男空”)，那么女生共有Pn+m+1n种排法。

故所求总数为Pn+mn+mPn+m+1n。

(6)先排红球，只有1种排法，白球共有Cn+m+1n种插入法。故所求总数为Cn+m+1n种。

注  (i)本例是排列中的一个数学模型，有许多应用，不要把它作为一个一般的例题看待。

(ii)解法中“插空”的思维方法也有许多应用。

例8-4-3  用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的：

(1)五位数；(2)六位偶数；(3)四位奇数；

(4)小于50万又不是5的倍数的六位数；

(5)能被6整除的四位数。

解  (1)由于0不能排首位，因此首位数有C51种排法。剩下5个数字排4个位置有P54种排法。故所求总数为C51P54=600。

(2)分两类：①个位数为0，其他数字有P55种排法；②个位数为2或4，有C21种选法。由于0不在首位，0有C41种排法。其他4个数字有P44种排法。因此这类排法总数为C21C41P44。

故所求总数为P55+C21C41P44=312。

(3)分三步：①先放奇数在个位，有C31种选法；②再放千位数字，由于0不能被选，剩下4个数字都可，有C41种选法；③剩下4个数字排在其他两个位置有P42种排法。

故所求总数为C31C41P42=144。

(4)分三步：①先排首位数，只能排1，2，3，4之一，共有C41种排法；②末位数是从1，2，3，4剩下3个中选一个，有C31种选法；③其他数字有P44种排法。

故所求总数为C41C31P44=288。

(5)能被6整除的一定是偶数，且数字和能被3整除。

分三类：①0在个位上。这时四个数字和能被3整除的组合有：｛0，1，2，3｝，｛0，1，3，5｝，｛0，2，3，4｝，｛0，3，4，5｝。由于0排在个位上，因此这一类总排法数为4P33=24个；

②2在个位上。有如下几种组合：｛0，1，2，3｝，｛0，2，3，4｝，｛1，2，4，5｝。总排法数为2C21P22+P33=14；

③4在个位上。有如下几种组合；｛0，2，3，4｝，{0，3，4，5｝，｛1，2，4，5｝。总排法数也是14种。

故所求总数为24+14+14=52。

注  ①关于数字排列的问题通常有：排出具有某种附加条件的几位数；排出小于(或大于)多少的多位数，或者排出介于某两数之间的多位数等。

②具有附加条件的数字排列问题，其附加条件多数与首位或个位数字有关，因此通常是先考虑这两个位置的数字的选(排)方法，可以由位置选元素；也可由元素选位置，比如本例之(1)就是由元素选位置，本例之(4)就是由位置选元素。