（一）、制作六阶拼合型初始方阵

       制作六阶拼合型初始方阵（指用于行列等和方阵拼合法的初始方阵）要满足下列4项要求：1、整个方阵由前36个自然数组成。2、它的各区每一行从左到右3个数都是依次增加同一个数。例如图5—5A初始方阵中是依次增加数1，图5—6A初始方阵中是依次增加数6。3、它的左上区第一列诸数之和等于右下区第一列诸数之和，例如图5—5A初始方阵中，1、25、34以及19、10、31这两组数之和都是60），另外两区也是这样（例如图5—5A初始方阵中，4、13、28以及7、22、16这两组数之和都是45）。4、它的左上区的中心数与右下区的中心数是互补数，另外两区的中心数也是这样（在图5—5A初始方阵中，26与11、14与23是两组互补数）。

        （二）、将初始方阵中每一区（方阵）的数，仿照制作三阶幻方的方法制作成四个三阶行列等和方阵

       这一步要将每一区第二行的各个数作为幻方的对角线上的数，例如图5—5A初始方阵中的25、26、27、10、11、12这6个数，组成幻方的左上对角线；初始方阵中13、14、15、22、23、24这6个数，组成幻方的右上对角线。据对于对角线的这一要求，制作时应注意以下几点：1、左上区与右下区中所采用的主步只能是“下1右1”或“下2右2”等左上对角线方向的步法，2、起点方格（填写该区左上方格的数的方格）不能在幻方的对角线上，3、选择转向步时应使该区第二行的第一个数位于幻方的对角线上，并且不在起点方格所在的行、也不在起点方格所在的列（参看第71页）。例如在图5—5B幻方中，主步为“下1右1”，转向步为“上1”，使数25在幻方的对角线上；又如图5—5D幻方中，主步为“下2右2”，转向步为“上1右1”，也使数25在幻方的对角线上。左上区与右下区的主步也是相同的，应该是“下1左1”或“下2左2”等右上对角线方向的。从这些实例可以看出，左上区与右下区只是总的要求相同，两者的具体步法可以不同。如果希望制作过程简单，最好是两者采用相同的步法。

        可以证明，采用上述方法制作的4个方阵，一定是行列等和方阵，四者拼合所得到的方阵一定是六阶幻方。

        1     2     3    4     5     6            26   34    3     4   30   14      

        25   26   27   13   14   15              1   27   35   29   13    6     

        34   35   36   28   29   30            36     2   25   15    5   28       

          7     8     9   19   20   21              7   18   23   11   31   21       

        22   23   24   10   11   12            17   22     9   19   12   32      

        16   17   18   31   32   33            24     8   16   33   20   10        

      A  拼合型初始方阵                B  六阶幻方  

      25   36     2     5   28   15            25     1   34     6   28   14

          3   26   34   30   14     4            36   27     3   29   15     4

         35     1   27   13     6   29             2   35   26   13     5   30

           8   16   24   10   33   20            18     7   23   12   20   31

         18   23     7   21   11   31              8   24   16   32   10   21

         22     9   17   32   19   12            22   17     9   19   33   11

              C  六阶幻方                       D  六阶幻方

   图5—5   一个六阶拼合型初始方阵和3个六阶幻方    

        从以上的研究可知，对于一个确定的六阶拼合型初始方阵，可以采用多种步法制作成六阶幻方。要使采用行列等和方阵拼合法制作的六阶幻方的数量多，那就还要制作很多的六阶拼合型初始方阵。

        制作六阶拼合型初始方阵有多种方法。一方面，在左上区每一行3个数的公差不变的条件下，满足第3、第4个要求的安排是多种多样的，也就是可以制作多种多样的拼合型初始方阵。例如在图5—5A中，右上区与下区的数29与8是一对互补数，我们可以将右上区中的第2、第3行互换、同时将左下区第1、第2行互换，得到另外一个满足4项要求的拼合型初始方阵。再如可以将左上区与右下区整个儿互换。

        图5—6A也是一个六阶拼合型初始方阵，它的组成特点与图5—5A大体相同，它各区的每一行依次增加的数是6，它的各区第一列的数是1 ～ 6与19 ～ 24。图5—6中还给出了据A图制作的一个六阶幻方。

        1     7   13     5   11   17            29     1   31   24   17     9      

       23   29   35     3     9   15             19   35     7   11     3   36     

       19   25   31   24   30   36             13   25   23   15   30     5    

         4   10   16   20   26   32               6   14   28     8   20   33     

       22   28   34     2     8   14             10   22   18   24   14   26     

         6   12   18   21   27   33             34   12     4   32   27     2    

     A  拼合型初始方阵             B 六阶拼合型幻方            

         图5—6   用等和方阵拼合法制作六阶幻方

           1   13   25     4   16   28              19   21   23   26   28   30

           6   18   30   11   23   35                2     4     6   13   15   17

         12   24   36     5   17   29              25   27   29   14   16   18

           8   20   32     3   15   27                1     3     5     7     9   11

           2   14   26     7   19   31              20   22   24   31   33   35

         10   22   34     9   21   33             32   34   36     8   10   12 

                初始方阵C                          初始方阵D

                    图5—7  两个六阶拼合型初始方阵

        图5—7又给出了两个六阶拼合型初始方阵，它们的左上区每一行依次增加的数分别是12与2。据高治源先生研究，在六阶拼合型初始方阵中，左上区每一行中依次增加的数只能取6个数：1、6、12、2、3、4。我们所列举的4个初始方阵已经对前4种情况各列举了一个实例。对于后两种情况，初始方阵中第1列与第4列的12个数是（1、2、3、10、11、12、19、20、21、28、29、30），或者是（1、2、3、4、13、14、15、16、25、26、27、28）。

          综上可知，据初步计算，用行列等和方阵拼合法能够制作的六阶幻方至少有5000个。

                      1     2     3    4     5   16   17   18   19   20        

                       46   47   48   49   50   36   37   38   39   40         

                       21   22   23   24   25   86   87   88   89   90    

                       71   72   73   74   75   61   62   63   64    65        

                       96   97   98   99 100   51   52   53   54   55        

                       56   57   58   59   60     6     7    8     9   10         

                       26   27   28   29   30   31   32   33   34   35      

                       11   12   13   14   15   76   77   78   79   80          

                       66   67   68   69   70   41   42   43   44   45         

                       91   92   93   94   95   81   82   83   84   85         

                            A  十阶拼合型初始方阵            

                       23   47    1  100   74   37   19   51   63   90

                       75   24   48    2    96   16   53   65   87   39

                       97   71   25   49    3    55   62   89   36   18

                         4   98   72   21   50   64   86   38   20   52

                        46    5    99   73   22   88   40   17   54   61

                        67   94   26   58   15   78   32     6   85   44

                        93   30   57   14   66   45   79   33     7   81

                        29   56   13   70   92   82   41   80   34     8

                        60   12   69   91   28     9   83   42   76   35

                        11   68   95   27   59   31   10   84   43   77

                                B  拼合型十阶幻方

          图5—10   用行列等差方阵拼合法制作十阶幻方示例

        这里再给出制作十阶幻方的一个例子。图5—10A是一个十阶拼合型初始方阵（它的每一区各行依次增加的数是1，其中左上区中1+46+21+71+96 = 235，右下区中6+31+76+41+81 = 235。两者是相等的，另外两区的同一位置的两组数的和都是245，它的组成特点与图5—5A相同）。对于图5—10A各个区的数， 用数步法（或主步转向步法）制作成B图中同一位置的五阶行列等和方阵（注意事项与制作六阶幻方大体相同），就得到图5—10B这个十阶幻方。在制作十阶幻方时，由于每一区中可能采用的步法比六阶幻方时多得多，因而所能制作十阶幻方的数量更多。

       一般来说，随着阶数增大，制作4m+2阶拼合型初始方阵的灵活性大得多，所能采用的步法也大大地增加。总之，行列等和方阵拼合法是制作单偶数阶幻方的通用方法，用这种方法制作的4m+2阶幻方的数量随着m值增大而急剧地增加。

        据初步研究，用行列等和方阵拼合法制作的单偶数阶幻方都是每一行、每一列、两对角线上诸数中“小数”（“小数”，参看第104页）恰好占一半的幻方。读者会看到，具有这种特点的幻方在下文中将有某种特殊的作用。