一  、问题的提出

我是一个幻方爱好者，自上个世纪八十年代我的大学时期，我看到《射雕英雄传》中有一个关于幻方的情节描述，黄蓉、郭靖轻而易举的说出了3阶幻方的答案，一语道破天机。打那时起我就对幻方产生了浓厚的兴趣，于是我就用计算机通过排列组合的方法再次求解，试图寻求还有没有别的答案，经过计算，结果得出这样的结论：用1—9 的9个自然数，在三个数之和为15的组合中只有5有四种组合，偶数（2、4、6、8）都有三种组合，而奇数只有两种组合。因此，只有5 才能占据中心位置，偶数占据角位置，奇数只能占据边的中间位置。据此我推断三阶幻方只有一种答案（其他的答案只是该组合形式的翻转）。自那时起，我做了一 些平面幻方，也掌握了一些幻方的构造方法，兴趣也随之日增，逐步向高阶幻方进军。但是后来我发现幻方构造有规可循，逐渐地我对于高阶幻方已经失去了兴趣。

参加工作以后，于1992 年我突发奇想，是否可以利用类似方法在立体空间内构造一个立体幻方呢？通过冥思苦想，终于有一天我手工制作出了一个四阶立体幻方（后来在网上与李文交流后 才知道是一个非标准的立体幻方），那时我没有电脑，用计算器手工研究它的奇幻性质，发现它比平面幻方奇幻性质要多很多，由此我转入了立体幻方的研究与探 索。

再后来，我工作调动，单位配备了电脑还安装了宽带，我利用计算机对该幻方性质进行了进一步的探索，又发现了很多奇幻性质。上网后我就想搜索有关这方面的资 料，于是找到了中国幻方网，并加入协会，与一些幻方研究者进行交流，我这时发现我所研究的幻方，既不是高阶幻方、也不是高次幻方、也算不上高维幻方，说它 是双重幻方也不合适，和别人的研究方向不一致，我好像是独辟蹊径，走入了一个未开发的领域，而且还有一些奇幻性质没有发现有人曾经做过研究，该幻方的奇幻 性质也相当丰富，简直难以想象，我就想在网上与各位进行竞赛，看谁能做出奇幻性质更多的幻方，要想竞赛，必须有个标准尺度，我查阅了网上关于幻方评价指标 的资料，大致有：阶数、高次幂、多维、均匀度、容量等，但是这些指标都是在某一方面提出的，不便于对所有各类幻方进行评价，我便构思出了幻方的奇幻度评价 指标，并在网上发出奇幻度极限挑战。

二  、奇幻度概念

奇幻度提出的指导思想：一是本着幻方研究的本意，以追求更为奇幻为目标。二是提出该评价指标，以便对各类幻方进行综合评价，使之具有可比性，并发出奇幻度极限挑战，促进交流，共同进步。三是要打破传统的幻方研究的固定思维模式，不拘一格制幻方，利于开发幻方研究的新领域，创造出多种奇幻性质的幻方。四是对每一个幻方要做过细的研究，从而挖掘出更多的奇幻性质，找到幻方制作的根本性的原理以及各种奇幻性质的根源。

幻方的奇幻度：平均每个数字所受奇幻性约束条件的个数，即奇幻度=奇幻性约束条件个数/数字个数。例如：三阶幻方有9个数字，奇幻性约束条件横向三个、竖向三个、对角线两个，共计8个。那么它的奇幻度=8/9=0。8889

三、几个需注意的问题。奇幻度指标计算需要注意以下几点：1、 奇幻性约束条件个数计算的无重复性。如：在全息幻方中对子幻方已作了更严格的约束，因此，母幻方约束条件中就应该相应核减这部分重复约束条件个数。2、奇 幻性约束条件的普遍性，即一种奇幻性质约束条件必须覆盖整个幻方，不可以是局部或者是部分的约束。不可以把幻方中局部性质约束条件计算在内。3、关于约束 条件不需做任何限制，可以是各种数学关系的（加、减、乘、除、等幂和、行列式、矩阵等等，甚至是各种函数关系也可以。）。4、数字个数，对标准幻方而言是 指该幻方所用的连续自然数个数（对非标准幻方而言，也可作广义的理解）。

 四 、16阶立体幻方的奇幻度计算：

（一） 四阶幻方奇幻性质约束条件个数：

1、  一维性质：16×3=48个约束条件（三个方向，每个方向有十六条）

2、 二维性质：4×4×3=48个约束条件(每个面有四对对角线互补，同一方向有四个面，三个方向)

3、三维性质：16×4=64个约束条件（三维泛对角线每个方向有16条，有四个方向）

4、二维、三维转换性质：8×3=24（每个方向8对对角线等差、三个方向）

5、行列式性质：12+24=36个约束条件（与坐标平行的剖面有12个，对角剖面24个。关于轮换型所形成的各种行列式虽具有该性质，但此性质可由行列式性质推出，属于明显重复约束，不计算奇幻性质约束条件个数。实际行列式个数应该有36*64个。）。

6、全息性质：4×4×4×3=192个约束条件（只计算“田”字格数，并考虑轮换性，）

7、等幂和性质：48+16 =64个约束条件。（二维“田”字格有4×4×3=48个；一维直线竖向8个，纵向8个；三维性质属于重复约束，不计算约束条件个数）

9、金字塔和性质：2×4×3=24个约束条件（每个面有2对，四个面，三个方向）。
共计：500个约束条件
奇幻度：500/64 = 7.8125

（二）高阶幻方约数条件个数。8阶全息性质均属于重复约束。在16阶立体幻方约束条件中，一维性质属重复约束，三维性质属重复约束，只增加二维对角线的约束条件个数。二维对角线每个平面有2条，16个平面，三个方向，故应有2*16*3=96个约束条件。增加奇幻度96/4096=0.0234375

16阶立体幻方总奇幻度为：7.8125+0.0234375=7.8359375

根据2004年5月25日发现的三维性质，其中还有普遍性奇幻性质约束条件：8*8=64个，故奇幻度还应增加64/4096=0.015625.所以该幻方的总奇幻度为：7.8359375+0.015625= 7.8515625

说明：散点、矩阵、对子数组没有计算在内，至于为什么，请看第五章幻方大揭秘。

五、奇幻度究竟可以说明什么

经过最近在网上和广大协会的同仁交流，看到有好多人对我所说的“奇幻度”概念不是理解很透彻。这也许是我没有把问题描述清楚之缘故。故我现对奇幻度有关问题再次进行说明和补充。奇幻度究竟说明了什么？

说到这一概念，其含义大概有五个：1、 奇幻度从一个侧面描述了幻方奇幻性质相对量的多少，也就是说奇幻度越高幻方的完美程度越高。比如完美幻方要比普通幻方奇幻度高，二次幻方要比一次幻方奇幻 度高。这里没有直接用绝对量----约束条件个数（这里引用的“约束条件”的概念来自于运筹学）---这个指标，因为绝对量对于不同阶幻方来说，不公平， 可比性差，因为高阶幻方用的数字多，他的奇幻性质也就应该相对多一些，反之，也就应该少一些。引用约束条件个数与所用数字个数之比，这样一个相对量指标， 消除了不可比因素，使得各阶幻方具有较好的可比性。2、奇幻度表达了幻方的均匀程度，奇幻度越高均匀度越好。其实幻方就是研究自然数序列（离散数字）在空 间的均匀分布问题，那么奇幻度正是表达了幻方在各个方向、各种运算中所表现出来的数字均匀程度。比如：对于一般幻方和完美幻方来说，都会说完美幻方数字分 布更均匀。3、奇幻度从一个侧面描述了幻方制作的难度，奇幻度越高难度越大。这就相当于对于同阶幻方来说，您要想做出更高奇幻度来，那就必须对给定的数字 作出更多的约束，而约束条件个数就相当于方程个数。我们知道解五元一次方程组当然要比解二元一次方程组复杂得多。对于未知数个数相同的方程组来说，高次方 程与一次方程同时求解，要比只解一次方程难得多。也就是这个道理。4、奇幻度越高容量越大。（相关概念：总容量、复杂度、均匀度、量级等概念请参阅沈文基 幻方研究网站中的《幻方量级指标：均匀度、复杂度》一文）。因此奇幻度概念可以说是综合评价幻方的指标之一。

奇幻度概念比较简单，也比较容易理解。它所用到的两个相关概念中“数字个数”也没什么歧义，很容易掌握。但在约束条件个数问题上可能有些问题难以界定。下面再作补充说明。

首先从最简单的三阶平面幻方说起：它有9个数字位置，我们姑且把它设为9个未知数，见图2-1所示。约束条件个数就相当于求解这样一道题，所用的方程组中方程的个数。尽管有时这样的方程并不能解出唯一的解，因为它是不定方程。

横向

X11+X12+X13=15

X21+X22+X23=15

X31+X32+X33=15

竖向

X11+X21+X31=15

X12+X22+X32=15

X13+X23+X33=15

对角线

X11+X22+X33=15

X13+X22+X31=15

这就是三阶幻方所用的8个约束条件，这是一般人都知道的奇幻性质，但是该幻方还有其他性质（约束条件），在此暂且不提。他所用的数字个数就是9，因此该幻方的奇幻度为8/9=0.889

六、如何界定约束条件的无重复性

关于重复约束条件问题，我在这里是指的，无需复杂推导就可以直接看出两个（或者几个）约束条件同时对同一组数据进行同样的约束。比如在全息幻方中的行和计算上：如果我们做到了1/4行和都等于幻和的1/4，那么在计算该行约束条件个数时，应该算作4个约束条件，而不是5个。因为子幻方已经作了4个更严格的约束，所以母幻方的行和所作的那1个约束应视为重复约束。为了更清楚说明这一点，再举一个例子----杨辉编制的一个四阶幻方：

它虽不是“完美幻方”，但是它却有很多奇幻性质。它的奇幻性质用图示法来表述。见下图。在下图中同色位置的四个数之和全部等于幻和（右下角那个图是中心位置对称的2个数之和等于1/2幻和），呈现出很好的对称性。