30.想 总 和

　　例如，1989年“从小爱数学”邀请赛试题8：某次考试，试题共六道，均为判断题。考生认为是正确的就画“√”，认为错的就画“×”。记分方法是：每道题答对的给2分，不答的给1分，答错的不给分。郑得多少分？

　　对每一道题来说，不管应画“√”还是应画“×”，前 6人“得分总和”比郑多5分，即多一个空格，二个“×”。这样，六道题前6人应比郑多5×6＝30(分)。实际前6人的总分是：

　　7×2＋5×3＋9＝38(分)。

　　所以郑得38－30＝8(分)。

　　还可这样想：

　　得分最多的周答对四题只答错12－9－1＝2，一题。假定答错的是第1题，这样标准答案已有了，据此分析其他人的得分。如果出现矛盾，再依次假设，经检查验证答错的是第4题。

　　标准答案是1.×；2.√；3.×；4.√；5.√；6.×。

　　郑第1、2题错了，得12－4＝8(分)。

31.想 范 围

　　例1 美国小学数学奥林匹克，第一次(1980年11月)试题1：设x和y是选自前50个自然数的两个不同的数，求下式的最大可能值。

　　在非负数范围内，要想使分数值尽量大，就要使分母尽量小而分子尽量大。分母最小可能是x—y＝1，这说明x与y是连续自然数，x与y最大可能是x＝50，y＝49。

　　例2 上例的试题4：壹分、伍分和拾分硬币各有100个，从中选出21个，每种硬币都要选到，恰好凑出1元钱。那么这21枚硬币中，每种各有多少个( )。

　　为使总价钱是1元，壹分币个数应该是5的倍数。而硬币总数是21枚，因此壹分币个数只可能是5，10，15，20。但15和20显然不能满足要求，下面考虑两种情况：

　　(1)如果有5枚壹分币

　　这时还有21－5＝16(枚)硬币，币值95分。列出下表不难发现，应有13枚伍分币，3枚拾分币。

　　(2)如果有10枚壹分币

　　这时还有21—10＝11(枚)硬币，币值90分，由下表知应为4枚伍分币，7枚拾分币。

　　例3 美国小学数学奥林匹克，第五次(1981年3月)题2：两个整数之积为144，差为10，它们的和是( )。

　　所有积为144的两个数：

　　差为10的只有18和8，18＋8＝26。

32.巧设条件

　　有些题数量关系抽象，猛一看去甚至觉得条件“不充分”。若把题变为“看得见，摸得着”，则易为学生理解接受。

　　例1 制造某种机器零件的时间甲比乙少用1/4，那么，甲比乙的工作效率高( )％。

　　若假设乙加工这种零件要8小时(是4的倍数计算方便)，那么，甲加工

　　如果设乙加工这种零件要4分钟，那么，他每小时加工15个；甲用的时间比乙少1/4，只需要3分钟，他每小时能加工20个。这样，就更简捷了。

　　(20—15)÷15≈33.3％。

例3 甲数比乙数多25％，乙数比甲数少( )％。

数少

　　例4 一组题。

　　(1)一个正方形体的棱长扩大2倍，那么它的体积就扩大( )倍，表面积扩大( )倍。

　　假设原正方体的棱长为1个单位长度，其体积为1×1×1，表面积为1×1×6；扩大后的棱长为2，体积为23、表面积为22×6。再通过比较就可得出结果。

　　(2)大圆半径是小圆半径的3倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，小圆

　　假定小圆半径为1，则大圆半径为3。

　　与小圆面积的比是( )。

　　假设阴影部分的面积为6，代入计算比直接利用两个“分率”推导易理解。

　　求小明比小方高多少，就是求168cm的1/6＋1，即高出24cm。