在算术理论中，仅有整数的可除性理论是不够的.例如，下面的问题在整数的范围内无法解答.

满地面.问选用的正方形瓷砖的边长最大是多少？

　　这就是一个涉及到求小数和分数的最大公约数的问题.类似这样的例子在日常生活和实际生产当中是很多的.因此，有必要建立小数和分数（有理数）的可除性理论.

　　本文就是将整数的可除性理论拓广到了有理数范围之内.

　　为了行文的方便，下面每个字母若无特别说明均表示整数.

　　首先，我们给出两个正有理数整除、最大公约数和最小公倍数的定义.

　　其次，我们来寻求两个正有理数的最大公约数和最小公倍数的方法.

　　为此，我们需要证明下面的一些命题.

　　证明：先证存在性.

　　于是，就有

　　再证唯一性.

　　那么，由

　　可以得到

　　但是

　　因此

　　如果n-n'≠0，那以

　　这与（*）式矛盾，所以必有

m2，使得

　　于是　

的公约数.

大公约数也就相同了.

　　由定理1、定理2，可以得到一个求两个正有理数的最大公约数的一个方法——辗转相除法.

　　于是

　　于是

　　………

　　这样继续下去，因为

　　总可以得到一个余数为0的等式，设为

　　于是

　　实际上，用辗转相除法来求两个正有理数的最大公约数还很不方便.为此，我们可以进一步得到下面的定理.

　　证明：用a1·a2去遍乘辗转相除法中的每个算式

　　…………

　　分别有

　　则

　　因此，有

　　成立.

　　利用定理3我们可以将求分数（小数）的最大公约数转化成求整数的最大公约数，这是大家熟悉的，因而这是一个很有用的方法.

　　怎样求两个正有理数的最小公倍数？下面的定理回答了这个问题.

整数，且（q1，q2）=1.于是

　　于是，有

　　q1·p1=q2·p2

　　或者

　　而（q1，q2）=1，所以可设p2=q1·s，则

　　亦即

　　下面我们来看几个应用的例子.

费地铺满地面.问选用的正方形瓷砖的边长最大是多少？

年地球、金星和太阳在一条直线上，当它们再在同一条直线上时，至少需要经过多少年？（江苏苏州市1978年小学生竞赛题）

　　解：因为地球绕太阳一圈所需时间定为1年，那么金星绕太阳一圈所需

　　答：当它们再在同一条直线上时，至少需要45年.