一 数列方面的应用

(1)购房贷款决策问题

（通过调查银行利率，利税及房价决定哪种方式购房划算）

(2) 斐波那契数列研究（从兔子的繁殖等实际问题建立递推数列问题）

假定一对兔子每个一个月生一对小兔，每对小兔在两个月以后也逐月生一对小兔，如果不发生死亡，一对刚出身的小兔一年可以繁殖多少对兔子？

又如：上一个n级台阶，若每次可以上一级或两级，求上法总数f(n).

一条直线将平面分成2个部分,两条直线最多将平面分成4个部分,3条直线最多将平面分成多少部分?n条直线最多将平面分成多少部分?空间中的平面情况又如何?

二 函数建模方面问题

一个例子:某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为估测以后每月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数选用二次函数或函数（其中a,b,c为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问：用以上哪个函数作为模拟函数较好，说明理由？

（1）对当地或国家近年来人口增长的情况调查，预测今后人口数量，给政府提出几点建议。

（2）建立“麦当劳”（或其它）商标的函数关系式（可用分段函数表示）

（3）气象学中的数学问题（温度、湿度、空气污染指数、臭氧层的变化）

（4）当地耕地面积的变化情况，预测今后的耕地面积。

（5）研究某种传染病的数学模型（参考文献[1]）

三 最优化问题

1. 无盖盒子的最大容积问题

用一张边长为a的正方形铁皮，如何制作一个无盖长方体盒子,使其容积最大（学生没有学习重要不等式，可以借助于计算器进行辅助解决）。

2. 零件供应站(最省问题)

设在一条流水线上有5台机器工作,我们要在流水线上设立一个检验站,经检验合格后才能进行下一道工序,若5台机器的工作效率相同,问检验台放在何处可使移动零件所走的距离之和最小?(所花的总费用最省)如果是n台呢?(可以用平面几何知识,也可以建立函数关系式,作出图象讨论得出)若5台机器的效率不同又如何呢?

3. 拍照取景角最大问题

.A

.B

在公路的一侧从A至B有一排楼房，想在公路上的任何一处拍一张正面照，任何选择公路上的点，使拍摄的一排楼房的取景最大(点A与点B与直线 的各种位置关系讨论)

类似问题 ：足球运动员在何处射门最好(不考虑其它因素)等

3.商品营销策略问题:

(1)调查某种商品的销量与它的利润的关系,并决策如何可使其获利最大?

(2)对报亭买报情况调查，（进价、售价，及卖不出去而退回每份赔钱多少），统计一个月的销售情况，问怎样决策收益最大？

四 纯数学问题:

1.函数 (a.b为待定常数)的性质研究(可利用几何画板结合研究)

2.若对任意的自变量x均有,其中c ,则函数 是周期函数,且周期为c. 研究函数 的周期性及奇偶性间的关系：若函数 为偶函数,且还有一条对称轴为 ,研究函数 的周期性.一般地若函数 有两条对称轴分别为,问 是周期函数吗?为什么?还有其他对称轴吗?能写出来吗?，若函数 为奇函数,且还有一条对称轴为 ,研究函数 的周期性.

3.研究等“和”数列与等“积”数列（其定义与等差、等比数列类似）的通项与性质。（参见文献2）

4.用多种方法研究:首项为a，公差为d的等差数列前n项和何时有最大值或最小值，说明理由？（可以结合几何画板画出动态的等差通项曲线与求和曲线来研究，也可以从通项入手，也可以从前n项和关于n的二次函数的最值来研究）

参考文献：

[1] 秋森著 《数学问题与模式探求》〉华东理工大学出版社

[2] 苏州大学《中学数学月刊》2001年第8期

[3] 兰永胜主编《数学思想方法与建模技巧》青岛海洋大学出版社

[4] 戴再平主编《高中数学开放题集》

[5]华南师范大学 《中学数学研究》1999年

n