作者：J. Brian Conrey

原题: The Riemann Hypothesis.
译自: Notices of the AMS, Vol.50 (2003), No.3, p.341 -- 353.

\sec{一些其它有趣的等价命题}

以下是RH的一些易陈述的等价命题.

$\bullet$ Hardy和Littlewood(1918): {\kaishu{RH成立当且仅当

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-x)^k}{k!\zeta (2k+1)} = O(x^{-1/4}), \quad x \to \infty.$$}}

$\bullet$ Redheffer(1977): {\kaishu{RH成立当且仅当对任意的$\epsilon > 0$,存在$C(\epsilon) > 0$,
使得$|\det (A(n))| < C(\epsilon)n^{1/2 +\epsilon}$,其中$A(n)$是一个由0和1组成的$n\times n$矩阵,
若$j=1$或$i$整除$j$时,$A(i, j)=1$;其它情形$A(i, j)=0$.}}

已经知道$A(n)$有$n-[n\log 2] -1$个
特征值等于1.另外$A$有一个实特征值(谱半径)接近$\sqrt n$,一个负特征值接近$-\sqrt n$,其它特征
值较小.

$\bullet$ Lagarias(2002)$^{1)}$
{\footnotetext{\ssmall\zihao{-5} 1) J.~C.~Lagarias论文的中译文请见本刊,
2003, No.3, p.212 -- 219, 234. \hskip-.1cm ---$\!$---编注}}: 记$\sigma (n)$为$n$的正因子
的和. {\kaishu{RH成立当且仅当
$$\sigma (n) \leq H_n + \exp(H_n)\log H_n$$
对任意的$n$成立,其中$H_n = 1+1/2+1/3+\cdots+1/n$.}}

全文见 数学译林