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  • 素数对之谜
  • 作者:佚名
  • 发表日期:十月 01, 2007
  • 浏览:61次
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  • 编者导读:数论中另一种非常重要的研究对象是神秘的素数对,或成为孪生素数,孪生素数是指如果p是素数且p+2也是素数,则称p和p+2为一对孪生素数,比如5,7;11,13等等.在100以内有8对孪生素数:(3,5); (5,7); (11,13);(17,19);(29,31);(41,43);(59,61);(71,73). 孪生素数是有限个还是有无穷多个?这是一个至今都未解决的数学难题.一直吸引着众多的数学家孜孜以求地钻研.早在20世纪初,德国数学家兰道就推测孪生素数有无穷多.许多迹象也越来越支持这个猜想.最先想到的方法是使用欧拉在证明素数有无穷多个所采取的方法.设所有的素数的到数和为: S
  • 数论中另一种非常重要的研究对象是神秘的素数对,或成为孪生素数,孪生素数是指如果p是素数且p+2也是素数,则称p和p+2为一对孪生素数,比如5,7;11,13等等.在100以内有8对孪生素数:(3,5); (5,7); (11,13);(17,19);(29,31);(41,43);(59,61);(71,73).
    孪生素数是有限个还是有无穷多个?这是一个至今都未解决的数学难题.一直吸引着众多的数学家孜孜以求地钻研.早在20世纪初,德国数学家兰道就推测孪生素数有无穷多.许多迹象也越来越支持这个猜想.最先想到的方法是使用欧拉在证明素数有无穷多个所采取的方法.设所有的素数的到数和为:

    S=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...

    如果素数是有限个,那么这个倒数和自然是有限数.但是欧拉证明了这个和是发散的,即是无穷大.由此说明素数有无穷多个.1919年,挪威数学家布隆仿照欧拉的方法,求所有孪生素数的倒数和:

    B=(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+...

    如果也能证明这个和比任何数都大,就证明了孪生素数有无穷多个了.这个想法很好,可是事实却违背了布隆的意愿.他证明了这个倒数和是一个有限数,现在这个常数就被称为布隆常数:B=1.90216054...布隆还发现,对于任何一个给定的整数m,都可以找到m个相邻素数,其中没有一个孪生素数.
    孪生素数猜想是一个与歌德巴赫猜想齐名的著名猜想.有朋友在我的留言簿中写了这个猜想,意思是让我来证明或否定孪生素数是否有无穷多个,我作为一个业余数学爱好者实在没有这个能力.
    用p(x)表示小于 x的孪生素数对的个数.下表是1011以下的孪生素数分布情况

    x p(x)
    1000 35
    10000 205
    100000 1224
    1000000 8169
    10000000 58980
    100000000 440312
    1000000000 3424506
    10000000000 27412679
    100000000000 224376048

    p(x)与x之间的关系是什么样的呢?1922年,英国数学家哈代和利托伍德提出一个孪生素数分布的猜想:

    p(x)≈2cx/(lnx)2

    其中常数c=(1-1/22)(1-1/42)(1-1/62)(1-1/102)...
    即,对于每一个素数p,计算(1-1/(p-1)2),再相乘.经过计算得知 c≈0.66016称为孪生素数常数.这个猜想如上所述有可能是正确的,但是至今也未获证明.

    下表是目前所发现的最大的前二十个孪生素数:

    rank prime digits who when comment
    1 361700055.239020±1 11755 Henri Lifchitz 1999 Twin
    2 835335.239014±1 11751 Ballinger & Gallot 1998 Twin
    3 242206083.238880±1 11713 Jarai & Indlekofer 1995 Twin
    4 40883037.223456±1 7069 Lifchitz & Gallot 1998 Twin
    5 843753.222222±1 6696 Rivera & Gallot 1997 Twin
    6 7485.220023±1 6032 Buddenhagen & Gallot 1998 Twin
    7 8182815.217838±1 5377 Smith & Gallot 1998 Twin
    8 570918348.105120±1 5129 Harvey Dubner 1995 Twin [Ribenboim95, p263]
    9 22687485.216557±1 4992 Hanson & Gallot 1999 twin
    10 697053813.216352±1 4932 Jarai & Indlekofer 1995 Twin [IJ96]
    11 37442007.215440±1 4656 Hanson & Gallot 1999 Twin
    12 6797727.215328±1 4622 Tony Forbes 1995 Twin [Forbes97]
    13 1692923232.104020±1 4030 Harvey Dubner 1993 Twin [Peterson93]
    14 3981.213153±1 3964 Walker & Gallot 1999 Twin
    15 245630385.212937±1 3903 Brennen & Gallot 1998 Twin
    16 915.211455±1 3452 Ballinger & Gallot 1998 Twin
    17 4655478828.103429±1 3439 Harvey Dubner 1993 Twin [IJ96]
    18 1706595.211235±1 3389 Brown, Noll, Parady, Smith_G, Smith_J & Zarantonello 1989 Twin [PSZ90]
    19 10941.210601±1 3196 Hanson & Gallot 1998 Twin
    20 12110457.210006±1 3020 Lifchitz & Gallot 1998 Twin

    回文素数是非常有意思的素数,最小的是131,还有151,181,191,313,353,373,383,757,787,797等等.下表列出了最近发现的最大的十个回文素数:

    742950290870000078092059247, 742950290871010178092059247,
    742950290872020278092059247, 742950290873030378092059247,
    742950290874040478092059247, 742950290875050578092059247,
    742950290876060678092059247, 742950290877070778092059247,
    742950290878080878092059247, 742950290879090978092059247.
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  • 【引用地址】http://www.suanshu.net/list/4609.aspx
  • 【关键字】素数对之谜
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