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  • 覆盖同余式系
  • 作者:佚名
  • 发表日期:十月 01, 2007
  • 浏览:68次
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  • 编者导读:有没有这样的k个同余式 n=a1(mod n1) n=a2(mod n2) ...... n=ak(mod nk) 使得任一整数n至少满足其中之一?这是可以办到的.例如,任一整数n至少满足下列6个同余式之一: (1) n=1 (mod 2) (2) n=1 (mod 3) (3) n=2 (mod 4) (4) n=4 (mod 8) (5) n=0 (mod 12) (6) n=8 (mod 24) 可以检验如下: 如果n为奇数,则适合(1). 如果 n为偶数,则n必为下列形式之一: n=24m,24m+2,24m+4,24m+6,24m+8,24m+10,24m+12,24m
  • 有没有这样的k个同余式
    n=a1(mod n1)
    n=a2(mod n2)
    ......
    n=ak(mod nk)
    使得任一整数n至少满足其中之一?这是可以办到的.例如,任一整数n至少满足下列6个同余式之一:
    (1) n=1 (mod 2) (2) n=1 (mod 3) (3) n=2 (mod 4)
    (4) n=4 (mod 8) (5) n=0 (mod 12) (6) n=8 (mod 24)
    可以检验如下:
    如果n为奇数,则适合(1).
    如果 n为偶数,则n必为下列形式之一:
    n=24m,24m+2,24m+4,24m+6,24m+8,24m+10,24m+12,24m+14,24m+16,24m+18,24m+20,24m+22.其中m为任意整数.
    当 24m+4,24m+16,24m+22 时,适合(2)
    当 24m+2,24m+6,24m+10,24m+14,24m+18, 时,适合(3)
    当 24m+20 时,适合(4)
    当 24m,24m+12 时,适合(5)
    当 24m+8, 时,适合(6)
    这样的一祖同余式,称为覆盖同余式系.覆盖同余式系在数论中有很重要的应用.例如,我们可以用它证明:存在一个正整数k,使得
    N=k2n+1对于每一个正整数n都是合数.
    首先,对于正整数n按照上面的覆盖同余式系进行分类.
    当n适合(1)时,n=2m+1,m为整数,于是N=k2n+1=2k4m+1,但是 4m=1(mod 3),从而 N=2k+1 (mod 3)
    只要适当选择k满足2k+1=0 (mod 3),就可以使 N 能被3整除,因而 N 为合数.解同余式 2k+1=0 (mod 3)得到 k=1 (mod 3).
    当n 适合(2)时,n=3m+1,m为整数.N=k2n+1=2k8m+1,但是 8m=1 (mod 7),从而 N=2k+1 (mod 7).
    只要适当选择k满足2k+1=0 (mod 7),就可以使 N 能被7整除,因而 N 为合数.解同余式 2k+1=0 (mod 7)得到 k=3 (mod 7).
    同理,对于n 满足其余四个式子之一时,分别得出 k 应满足
    k=1 (mod 5),k=1 (mod 17),k=-1 (mod 13),k=16(mod 241)
    综上所述,只要k 满足下列同余式组
    k=1 (mod 3)
    k=1 (mod 5)
    k=3 (mod 7)
    k=-1 (mod 13)
    k=1 (mod 17)
    k=16 (mod 241)
    就能对于任意正整数 n ,使得 N 能被3,5,7,13,17,241之一整除,即 N 为合数.
    利用中国剩余定理可以解出上述同余式组的解为 k = 1207426 (mod 5592405 ) 即 k=5592405t+1207426 .其中 t 为任意整数.
    取t=0,k=1207426,则有 N=1207426*2n+1,对于任何正整数 n 都是合数.
    覆盖同余式系不是唯一的.例如,下面的12个同余式也组成覆盖同余式系:
    n=1 (mod 3), n=2 (mod 4), n=5 (mod 6)
    n=4 (mod 8), n=0 (mod 9), n=0 (mod 12)
    n=0 (mod 16), n=3 (mod 18), n=3 (mod 24)
    n=33 (mod 36), n=8 (mod 48), n=15 (mod 72).
    一般地,如果覆盖同余式系
    n=a1(mod n1)
    n=a2(mod n2)
    ......
    n=ak(mod nk)
    中,c=n1 厄特希还认为:当模 n1,n2,...nk都是大于1的各不相同的奇数时,这样的覆盖同余式系是不存在的.但是数学家赛尔弗里奇(J.L.Selfridge)则宁愿悬赏500美元征求这种覆盖同余式系存在的例子.究竟如何,尚待解决.
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  • 【引用地址】http://www.suanshu.net/list/4611.aspx
  • 【关键字】覆盖同余式系
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