If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis. ----------------------------- H. Montgomery

那么这个让上帝如此吝啬的 Riemann 猜想究竟是一个什么样的猜想呢？在回答这个问题之前我们先来介绍一个函数： Riemann ζ 函数。这个函数虽然挂着 Riemann 的大名，却不是 Riemann 提出的。但是 Riemann 虽然不是这一函数的提出者，他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解，为其在数学与物理上的广泛运用奠定了基础。后人为了纪念Riemann 的卓越贡献，就用他的名字命名了这一函数。[注二]

Riemann ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 (n 为自然数)

ζ(s) = Σn n-s (Re(s) > 1)

在复平面上的解析延拓。之所以需要解析延拓，是因为上面这一表达式 - 如我们已经注明的 - 只适用于复平面上 Re(s) > 1 的区域 (否则级数不收敛)。 Riemann 找到了上面这一表达式的解析延拓 (当然 Riemann 没有使用 “解析延拓” 这一现代复变函数论的术语)。 运用路径积分， 解析延拓后的 Riemann ζ 函数可以表示为：

式中的积分环绕正实轴进行 (即从 ∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方，再沿实轴下方积分至 ∞ - 离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0)； 式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广， 对于正整数 s>1： Γ(s)=(s-1)!。可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。这就是 Riemann ζ 函数的完整定义。

运用上面的积分表达式可以证明， Riemann ζ 函数满足以下代数关系式：

ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)

从这个关系式中不难发现， Riemann ζ 函数在 s=-2n (n 为自然数) 取值为零-因为 sin(πs/2) 为零[注三]。复平面上的这种使 Riemann ζ 函数取值为零的点被称为 Riemann ζ 函数的零点。 因此 s=-2n (n 为自然数) 是 Riemann ζ 函数的零点。这些分布有序的零点性质十分简单， 被称为 Riemann ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。除了这些平凡零点外， Riemann ζ 函数还有许多其它的零点，那些零点被称为非平凡零点。对 Riemann ζ 函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。我们所要讨论的 Riemann 猜想就是关于这些非平凡零点的猜想，在这里我们先把它的内容表述一下，然后再叙述它的来笼去脉：

Riemann 猜想: Riemann ζ 函数的所有非平凡零点 (non-trivial zeros) 都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。

在 Riemann 猜想的研究中数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line， 运用这一术语， Riemann 猜想也可以表述为： Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。

这就是 Riemann 猜想的内容，它是 Riemann 在 1859 年提出的。从其表述上看， Riemann 猜想似乎是一个纯粹有关复变函数的命题， 但我们很快将会看到，它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。 二零零三年十一月六日写于纽约

注释

[注一] 这个故事让我想起一句有趣的无神论者的祈祷语： God, if there is one, save my soul if I have one (上帝啊， 如果你存在的话， 拯救我的灵魂吧，如果我有灵魂的话)。

[注二] 远在 Riemann 之前， Riemann ζ 函数 (当然那时还不叫这个名字) 的级数表达式就已经出现在了数学文献中， 但是那些表达式中函数的定义域较小。 Riemann 把 Riemann ζ 函数的定义域大大地延拓了，这一点对于 Riemann 猜想的表述及研究具有重要的意义。 仅凭这一点，即便把 Riemann 称为 Riemann ζ 函数的提出者之一，也并不过份。

[注三] sin(πs/2) 在 s=0 及 s=2n (n 为自然数) 时也为零， 但是 s=0 时 ζ(1-s) 有极点， s=2n (n 为自然数) 时 Γ(1-s) 有极点， 因此只有在 s=-2n (n 为自然数) 时可以由 sin(πs/2)=0 推知 Riemann ζ 函数的取值为零。

(转自卢昌海数学网站)