转自 科学网 (2005-07-18 15:47:00)

在《波利亚的相册》（一本数学家的照片集）中，有一张外尔玩跷跷板的照片。这个对称的装置需要小脑的作用，也需要用到一点大脑；不过这个大脑可着实不简单，还为人们奉献了《对称》这本精美的小书。在“世纪人文系列丛书”的子系列“袖珍经典”中，上海科技教育出版社重新推出了这部不同凡响的经典小书。

　　作为20世纪希尔伯特之后世界上最伟大的数学家，外尔对理论物理具有独特贡献，其专著《群论与量子力学》把对称性研究推到一个新的高度。

　　自古至今，以对称为主题的著作并不少见。这些作品往往集中于生物世界和建筑、文化艺术领域，且也或多或少涉及到一些数学概念，但碍于作者有限的数学修养，不过蜻蜓点水而已。外尔则迥然不同。

　　数学中研究对称性的分支就是群论。在外尔的年代，懂得群论的非数学家还是很少的。要让普通听众和读者也能懂得对称性背后深刻的数学道理，是否匪夷所思？1951年2月，外尔在普林斯顿大学的瓦尼克桑讲座上做了几次演讲，并整理成《对称》一书，便是一个肯定的回答。

　　每次演讲在《对称》中都独立成章。每一章的特点均是数学与现实物的互相穿插。作者举出大量活生生的实例，从读者最熟悉的“双侧对称性”谈起。这是一种反射对称，也是最特殊的旋转。此外，对称性还包括平移对称和旋转对称。在此基础上引入（更复杂的）装饰对称性，最后一章谈晶体和对称性的一般数学观念。书中出现的重要数学概念包括映射、变换、向量等，最后是群。

　　目前国内的大学数学教材总体来说普遍较差，这些书总是从定义到公式，让学生一时没有方向。尤其是群，像是空中楼阁、天外来物。其实，数学中所有重要概念都是很有背景、很有文化色彩的，有的甚至可以追溯到原始社会；对称性便是其中之一。人们常说，文学艺术源于生活又高于生活，数学亦是如此。数学家提炼出重要概念，并找到其内在、深层的联系。平常直观上的对称性，一旦用数学表达，就会被引向原先根本无法想象的境界，如公式与理论的对称性等，最突出的例子便是相对论和量子力学，书中都提到了。所以，重要概念看似“芝麻开门”这样一句平凡的话，但却打开了整个理论的宝库。科学就是这样神奇。

　　值得注意的是，《对称》中引用了大量世界古代各种文明的对称性建筑或器皿图片，而18世纪前却始终没有诞生相应的科学理论。比如书中提到的、在变换群意义上平面总共有17种对称性，这早已穷尽在埃及工匠的作品中，但证明这一事实则是1924年的事。完成这一证明所用的理论工具，又在方方面面开花结果，成为推进人类文明的力量。可见想到要说“芝麻开门”才是最不容易的。

　　外尔还是对思维美有很深理解的数学家。数学中的思维美主要指公式的和谐、理论的简洁。这与前述几乎是一回事。他有一句名言：“我的工作总是尽力把真和美统一起来，但当我必须在两者中选一个时，我通常选择美。”一般人可以理解形式美，很难理解思维美。对称，堪称形式美与思维美结合的典范，这在数学中恐怕也是不多见的。

　　不信？《对称》便是明证。

　（《对称》，外尔著，冯承天等译，上海科技教育出版社2005年4月第一版，定价：15.00元）