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  • 模形式与拓扑(I)
  • 作者:佚名
  • 发表日期:十月 01, 2007
  • 浏览:75次
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  • 编者导读:作者： Kefeng Liu原题: Modular Forms and Topology.译自: Contemporary Mathematics, Vol.193 (1996), pp.237 -- 262.在这篇综述中, 我们将讨论模形式在拓扑中的各种应用, 其出发点是椭圆亏格及其推广.主要技巧有Atiyah-Singer指标定理, Atiyah-Bott-Segal-Singer Lefschetz 不动点公式, Kac-Moody李代数, 模形式与$\theta$--函数.正如[A1]中所揭示的那样, 经典李群表示论与Atiyah-Singer 指标公式有着紧密的联系,loop群的表示论在我们的研究中也起着非常重要的作用. loop群表示的一个重要特性是Kac-Weyl 特征标公式的模不变性, 这允许
  • 作者： Kefeng Liu

    原题: Modular Forms and Topology.
    译自: Contemporary Mathematics, Vol.193 (1996), pp.237 -- 262.

    在这篇综述中, 我们将讨论模形式在拓扑中的各种应用, 其出发点是椭圆亏格及其推广.
    主要技巧有Atiyah-Singer指标定理, Atiyah-Bott-Segal-Singer Lefschetz 不动点公式, Kac-Moody李代数, 模形式与$\theta$--函数.正如[A1]中所揭示的那样, 经典李群表示论与Atiyah-Singer 指标公式有着紧密的联系,loop群的表示论在我们的研究中也起着非常重要的作用. loop群表示的一个重要特性是Kac-Weyl 特征标公式的模不变性, 这允许我们可以得出很多有趣的新结果, 并可以把拓扑中的许多已知结果统一起来. 在这篇文章中, 我们将要沿着这个方向发展.我们希望群表示的其他特性, 例如融合法则与张量范畴结构等也可以应用于拓扑之中, 可参见\S 3的讨论.

    本文组织如下. 在\S 1, 我们通过把指标理论与loop 群的表示论结合起来引进椭圆亏格 . 经典指标理论与经典李群的表示论的关系在[A1]中有所讨论, 从中可以发现, 只需要把经典李群改换为相应的loop群, 我们就可以得到椭圆亏格的完整理论, 或者更一般的loop空间的指标理论. 特别是, loop空间的Dirac算子与Witten亏格通过这种方式令人信服地推导出来. 于是椭圆亏格的其他熟知的性质, 例如泛函方程,刚性的刻画与纤维化的刻画等, 也可以很容易地得到. 在这里我们仅仅挑选一些不为大家熟知的结果进行讨论, 例如椭圆亏格中的参数按照$\theta$--函数的表示.

    与经典李群情形不同的是, 在我们这种情况下有新的特性出现, 模不变性与指标理论相结合, 被应用于获得很多新的拓扑结果. 这是\S 2的内容 .这一节的大多数结果是一些更一般的结果的特殊情形.为简单起见, 我们仅仅给出证明的主要想法.

    我们在 \S 3给出一些几何构造以理解椭圆上同调. \S 3.3中的构造是受到魔幻月光模(monstrous moonshine module)的顶点算子代数构造的启发而得到的.在 \S 3.1中, 我们引进具有无穷维结构群的向量丛. 在\S 3.2中我们研究相应的Grothendieck 群与Riemann-Roch 性质. 一个容易的推论是椭圆亏格可以实现为两个球面上的无穷维向量丛的差分, 在每个向量丛上面有Virasoro 代数的作用. 对于每一个模子群, 具有模性的分次丛构成的环在\S 3.3被引入, 每一个这样的环都有从椭圆上同调出发的自然同态. 我们未加证明地给出几个简单的定理.本节的详细内容将发表在后续文章中.

    这篇综述基本上是我在MIT与哈佛的拓扑讨论班上,以及美国数学会的大魔群(monster group)与月光模会议上的讲演的扩展.其中的主要思想显然已经为专家们所熟知.
    读者可以从参考文献中找到相关的讨论. 我在与许多人的讨论中也获益匪浅. 我要感谢会议与讨论班的组织者和听众,特别是 R. Bott, J.-L. Brylinski, 董崇英, M. Hopkins, 黄一智, V.Kac, G. Katz, H. Miller, A. Radul, 王伟强, E. Weinstein, 丘成桐,朱永昌.

    \sec{1. \ 指标理论,椭圆曲线与Loop 群}

    我们可以从几个不同的角度来观察椭圆亏格; 从指标理论,从Kac-Moody仿射李代数的表示论,或者从椭圆函数与模形式的理论. 它们中的每一个都可以给我们展示出椭圆亏格的迥异的有趣的特性.另一方面我们也可以把这3个不同数学领域的力量整合起来, 得到拓扑中许多有趣的结果, 譬如刚性,可除性与拓扑不变量的不变性等.

    在本节, 我们首先通过把仿射李代数的表示论与Atiyah-Singer指标理论结合起来引入椭圆亏格, 从而得到椭圆亏格的所有其他性质, 例如泛函方程与对数, 等等. 本节是[A1]的一个``loop"类比.

    全文见 数学译林
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  • 【关键字】模形式与拓扑(I)
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