何湘常

［内容简介］：本文论述了在柳钢一中实验了二年的《问题系统引导教学法》的效果及操作，是实际教学中的总结。

［关健词］：问题系统    高中数学    实验

　　中学数学《问题系统引导教学法实验》是一项关于教育思想、教材、教法及课堂结构等方面的综合改革实验，其基本理论是全面落实数学问题系统、目标与检测、自学、情感等四个因素，以扩展数学习题的功能，充分发挥教与学的内在功能，其指导思想是把统编教材转化为一个科学的、生动的、富有启发性和导向性的问题系统组成的、符合该年龄段中学生认知水平和心理水平、直接为教与学服务的实验教材，并由此去转变规范教与学的方法，优化数学教学的基本因素，把数学教学变成数学活动的教学，而不仅仅是活动结果(知识)的教学，实现数学教学“面向全体学生，负担轻，速度快，容量大，效果好”的教学目标。本实验是由柳州地区高中、柳州铁路局一中、柳州钢铁公司一中和柳州教育学院(王为民教授)在1994年8月共同研究决定，在这四校进行此实验， 教学改革实验的中心问题是教材建设问题，是以学生为主体的素质教育问题，因此，我们四校联合并编写了一套高一的《代数》和《立体几何》教案本，在第一年的教改实验中，我们就这套教案本进行了多次的研究教学和观摩教学活动，并把教案本的使用方法传给了高95年级，我校有两个班参加了此项实验，实验的效果颇大，学生和教师都很适应这种教学方法。由于高二要进行会考，加之学校之间学生素质相差太大，有些学校提出实验暂缓进行到高二年级，先在高一年级反复实验几年再说，因此我校高中数学教研组的老师在王为民教授的大力支持下，继续进行此实验，我们编写了高二数学《问题系统引导教学法》教案本(代数本)，并且印刷出来，学生和教师人手一本。在两年的实验中，学生的解题能力和分析能力有很大提高，这得益于实验充分发挥了教与学的内在功能。

　　现行高考的知识点取于教材，但题型及解题方法在教材中是难见的，就是说对教材全部熟练，高考不一定得到好的成绩，问题系统引导教学法就是针对这个脱节而进行的。实验所编教案本的使用离不开教材，因为教材的解题方法和定义是绝对权威的，而我们所编的教案本是把每节课都问题化，以学生为主体，个个问题让学生动笔动脑，教师只对学生作引导，这样就培养了学生的自学能力，且对学生的负担和教师的工作量大大减轻和减少。下面就我校在高二年级(94级)进行问题系统引导教学法的实验教材(即教案本)作出介绍。因在第一学年实验中，实验教师对教案的一些不足提出了许多宝贵的意见，如:<基础知识复习>， 这课前问题是以填空题出现最好；大题和难题要加一些解答过程；选题量可多而易；……等，在教材编写中，第五章——不等式就当今数学热点问题加入了不等式证明的放缩法和换元法，还加入了柯西不等式的应用，并列举了一些应用题。在数列这章教材中，相应侧重了等差数列和等比数列的混合求和运算，增加了简单的递推数列。在极限这一教学单元中，强调了极限的四则运算，对形如:　

                 (ap、bq不为零，p、 q为整数)

        Lim   an - bn

    n→∞   an + bn        (a、b为正数，且不为1)

　   这两种极限的运算和讨论作了详细的介绍并补充了习题训练。对数学归纳法的证明以填空形式为主，训练当n=k+1(k∈N)的题型， 并又增加了归纳猜想和证明。在第八章中对复数与《解析几何》的联系作重点详编，复数的模的运算公式，如:

　                       |z|2= z·z，　|z1|·|z2|=|z1z2|,

                         |z1 + z2|2 + |z1 - z2|2= 2(|z1|2 + |z2|2)

                        ||z1| - |z2||≤|z1 ± z2|≤|z1| + |z2|

进行系统分析和运用。第九章排列、组合和二项式定理中主要是开拓视野，用活两个基本原理，题型多而量少。

　　我们编写的教案本要求全面地贴近学生和教师的，是为高考而编写的，如92年高考题中有一题是归纳猜想，教材(课本)中是找不到这种题型的，教案本中就要有这类题型的，并且这种教案本是人手一册的，所以在课堂教学中，能增加容量，课前又能作预习辅导材料，课后又能作习题本。

　　以下介绍九五年十月二十日在我校举办的一次全市性关于高中数学《问题系统引导教学法实验》一节研讨课，就教案本在实验教学中的特色可“窥见一斑”，并请教于数学界的专家同仁。　　课题:“等差数列的前n项的和公式<一>”(高中《代数》 下册P35)

　　研讨课题:　如何使用实验教材引导学生系统自我学习、探索、 发现和概括?

　　教学过程:

　（教师):今天，我们学习实验教材《数列》 第一章的第五课“等差数列前n项的和公式”，先看学习提要和问题(一)的两个问题；(5分钟)

　　　《学习提要》

　　1、等差数列的前n项的和公式有哪两个形式?是如何导出的?

　　2、如何应用等差数列前n项的和公式解题?

　　[评述]:　实验教学每节课开始，均以问题形式给出教学目标， 提出学习任务，重点和关键，以利教与学的导向。

　　问题<一>:

　　1、在等差数列{an}中，若自然数n、m、p、q，n+m=p+q，则

an、am、ap、aq有关系:(an+am=ap+aq)

  　2、如何计算　1+2+3+…+100=(    )

　　[评述]:　问题<一>为迁移性问题，为引进学习新知识作铺垫， 起温故知新作用；如题1，为说明a1+an=a2+an-1=…，题2则是推导等差数列Sn的方法原型。

　　(教师):接下去，同学们看问题<二>与<三>中公式的推导部分。(10分钟)

　　问题<二>:

　　1、如何计算4+5+6+7+8+9+10=?

    2、在等差数列{an}中，如果记Sn=a1+a2+…an, 称Sn为等差数列{an}的前n项的和，问Sn具有怎样的表达式?　即Sn=?

　　问题<三>:

　　1、试用下面竖式计算题1中七个数的和:

　　　　S7= 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

         +)   S7=10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4

             2S7=(4+10)+(  )+(  )+(  )+(  )+(  )+(  )

         =(7)×14

      ∴ S7=7×14/2 = ______

      2、一般地，设有等差数列a1、a2、…an，它的前n项的和为Sn=a1+a2+…an

　　　　仿上题列竖式:

　　　　Sn=a1+a2+…an

           +)  Sn=an+an-1+…a2+a1

      2Sn=(   )+(   ) +…　+(　　)+(　　)

　　　　∵　a1+an=a2+ (    )=……

　　　　∴　2Sn=n·(a1+an)

　　由此得到等差数列{an}的前n 项和公式：

　　公式⑴求Sn需知_____________三个条件，再由等差数列的通项公式

an=a1+___代入上式，得到等差数列Sn的另一形式:

   ⑵

　　这里求Sn要知三个条件是:__________________。

　　老师叫学生:<1>　、写出公式⑴、⑵；　<2>、 用语言表达推导公式的方法；<3>、应用公式求Sn的方法需知三个条件。

　　[评述]:两个问题让学生由浅入深，由特殊到一般， 逐渐掌握数列的求和公式，这些公式推导的问题都由学生自已动笔写，加强印象，让学生在实践中理解知识，掌握知识，教师只能强调重点和关键。

　　教师组织学生研究讨论例1、例2。(8分钟)

　　例1、一个堆放铅笔的V形架的下面放一支铅笔，往上每一层都比它下面多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放多少支铅笔?

解:　V形架上各层的铅笔数组成_____数列；记为{an}，其中a1=____, an=____,  n=_____;

     ∴ Sn=__________=________.

    答:　这个V形架上共放铅笔___支。

　　例2、求集合M={m| m=7n, n∈N，且m＜100}的元素个数，并求这些元素的和。

解:　∵　m=7n＜100,  ∴ n＜100/7≈14.27

     又 n∈N，　∴　n= ____, 即集合M中的元素共有(14)个，将它们从小到大列出，得:

　　　7，7×2，7×3，……，7×14；

　　这个数列是_____数列，记为{an},其中a1=___, an=___, n=__,

   ∴ Sn=______= _______.

   [评述]:　这是一组及时性反馈练习，有帮助引导思维作用，老师不用抄题、讲解，学生直接解答，师生只研究讨论解题的关键步骤——:(1)等差数列的判定；(2)如何找出三个已知条件a1、an、n? (3) 解答的规范表述方式。

　　(教师):　下面同学们做练习<四>，老师巡视，进行辅导、 指导和了解学生解答情况，并叫部分学生到黑板抄写自己的解答。(17分钟)

　　问题<四>:

　　1、求等差数列13，15，17，……81的各项的和。

解:　这个数列是等差数列，记为____，其中:　a1=____,  an=____   d=____,  则得　n= _____.

      ∴ Sn= _________= __________.

        答:　　2、在正整数集合中有多少个三位数?　求它们的和。

解:　正整数集合中的三位数从小到大是:

　　　100，101，102，……，______。

　　这是一个_____数列，其中 a1=____, an=____, d=____,

    所以　n=           Sn=    

    3、某等差数列{an}的通项公式是an=3n-2, 求它的前n项的和的公式。

         解:　(略)

　　4、求自然数n,　使2·22·23……2n=(1/2)21

         解:　(略)

　　5、若等差数列a, b, 5a, 7,……，c各项之和是2500，求a, b,c.

       [分析]:　解答等差数列问题需要知识几个已知条件，这里已知:

　　　Sn=2500，尚缺几个条件。

解:　∵ a, b, 5a成等差数列，∴　b=_____=3a,  ……(1)

     又∵b, 5a, 7成等差数列，∴　5a=____= (b+7)/2　……(2)

　　由(1)、(2)得　a=____, d=_____.

    代入　Sn　和　c=an　中求n、c.

   答:

    [评述]:　这是一组巩固、强化知识技能的练习， 有些题从统编教材外补充的，在这里又一次充分显示实验教材既是教师教案，又是学生练习册的优势，课堂上省去了许多不必要的板书、提问、讲解、笔记等，使实验教学面向全体学生，负担轻，高速高效的特点。

　　教师与学生共同对黑板上解答的科学性、规范性作订正，并研究问题<五>中的题1。　(5分钟)

　　问题<五>

　　1、证明:如果一个数列的前n项的和公式是一个关于n的一元二次函数，且无常数项，那么，这个数列为等差数列。(略)

　　2、……(略)

　　最后，教师叫学生就《学习提要》的问题作小结，并布置课外作业。

　　[评述]: 问题<五>是综合性问题，有引向高深层次的作用，最后的小结是对本节课教学目标达标程度的检测。

　　三、实验操作情况:

　　高中数学问题系统引导教学法的实验在我年级(94级)实验两年以来，主要是如何用好教案本，它不同于复习资料，也不同于教材(课本)，我们是这样使用它的:

　　<1>课前把它当预习本，要求每个学生阅读教材后， 能正确填写教案本中的复习和概念的填空，并适当抽查学生的进度，如遇难题可暂停等到上课时再做。事实上，两个实验班的学生有许多超前了2至3课，如(1) 班的凌小平、陈洪，(2)班的黄超梅、黄静等，有了课前预习， 课堂教学就非常顺利且效果良好，并使课堂气氛活跃。

　　<2>课堂中把它当作教师的教案和学生的课堂练习， 教师课前熟悉这节课所要讲解的教学内容，并要有节制地穿插一些相关内容，使学生体会到数学其味无穷；但又不超过教案本的内容，否则会造成误为数学深奥无比。以问题系统引导为主，围绕教育实验目的，使教学循序渐进，由浅入深。

　　<3>课后把它当作练习本，因为课堂中不一定把每节课处理完， 有些题型在进行系统训练时，插入的各种题型可能较多，也可能是本节课内容多，总之，教案本后有一些习题是留给学生课后去作的；所以，它是课后的练习本。

　　实验我们进行到了高二年级，已受到各校的关注，特别是王为民教授，多次来我校指点实验，除提出不同意见外，还在我校实验班进行了多次指导教学，并组织实验的研究教学活动，邀请柳州地区高中、柳铁一中、柳铁二中、市三中的教师到我校进行了一次观摩教学，各校教师对我们的实验热情作了高度评价，充分肯定了高二年级的实验工作，我校校长刘卓琳、地高校长候代忠、柳铁一中教导主任朱克宁等，对我们的实验教学作了具体的指示，并希望我们继续下去。

　　四、实验总结:

　　实验进行的两年中，取得了相当满意的效果，这当然也取夺于我校学生有良好的素质和刻苦学习的精神，效果在以下两方面:

　　<1>减轻了教师的负担。问题系统引导教学法的实验， 主要引导了学生的自觉学习习惯，因为每节课都要学生预习，学生只有预先阅读教材后，才能正确填写教案本，填写完教案本后，等于做完课本中的容易练习，这样，一节课后，有许多练习可以不必作了，而我在实验班布置作业以教案本的少量练习为主，对教材中的习题让学生自己去做，如果学生已经会了，就可以不必去做了，而学习上有困难的学生就必须多加强教材习题训练，否则，他的考试成绩就差。这样，有了教案本，我的备课工作量减少了，作业批改量也减少了许多(有时没有)。

　　<2>成绩提高幅度大。

　　我校平时测验是用南宁二中的测试卷，在单元测验中，竞有许多人次能得满分，这是我这几年教学中，少有遇见。在96年5月的段考中， 我校是用某重点中学的段考试卷，考试内容是复数，下面是此校段考情况:

        从上表中可看出，实验班的成绩大大超过重点校的成绩。这样的成绩并激发了学生学习数学的热情，总之，我们认为，这两个实验班的成绩与实验的效果是必然的。

　　五、实验的发展

　　有人说，高三年级是关键的一年，弄不好会搞砸的，别前功尽弃了；现在已进入高三年级，高三年级虽不同高一、高二年级有那么多新课程，但我们已作好了继续实验的准备，相应编好了高三教学用的数学专题讲座。只要实验对我们有利，对教学有利，受广大师生的欢迎，我们就把它坚持下去，毛主席说过: 世上无难事，只怕有心人。对问题系统引导教学法实验，我校领导和教师大力支持，只要我们有恒心，有信心，我们的实验就会成功的。