一.

1.分子有理化,得a= ,b= ,c=,知b<a<c.

2.两式相减,并分解因式,得(m－n)(m+n+1)=0(m≠n),所以m+n=－1.

两式相加,得(m+n)2－2mn=(m+n)+4,代入m+n=－1,可得mn=－1.

所以原式=(m+n)[(m+n)2－3mn]－2mn= －2.

3.由图知,x=1时,y<0,即a+b+c<0;x=－1时,y>0,即a－b+c>0.

又a>0,0<－<1,所以b<0,2a－b>0,－b<2a,2a+b>0.

所以原式=－2(a－b+c)<0.

4.如图,易证DE是ΔABC的中位线.

所以SΔBED=SΔABC=30,S梯形EACD=90,且SΔEFD=SΔAFC,

SΔAFE=SΔCFD.设SΔAFE=SΔCFD=x,SΔEFD=y,SΔAFC=4y.由SΔEDF∶SΔEAF=DF∶FA=SΔCDF∶SΔCAF,得

   ,得SΔAFE=x=20.

5.连结CA,CB,CO1,DO2,O1O2,作O1E⊥DO2.

由AB∥CD,易证∠PCB=∠CAB,∠PCB=∠CAB,

AB=AC,ΔABC是正Δ.

从而∠EO1O2=300, EO2∶O1O2=1∶2,

即 (R－r)∶(R+r)=1∶2, r∶R=1∶3.

6.设3n+1=a2(a是整数),则3不能整除a.

(假设3整除a,则a=3m,m是整数,3n+1=9m2,n=3m2+,与n是整数矛盾).

于是可设a=3t±1(t是整数),

所以3n+1=9t2±6t+1,n=3t2±2t,

所以 n+1=t2+t2+(t±1)2.可见k最小为3.

例如:n=8时,3n+1=25,n+1=9=12+22+22.

n=23 时,3n+1=64,n+1=24=22+22+42.

二.

1.由题设知,b>0,a－b－3<0,b－a+>0.易得原式=.

2.如图,设A、B、C为切点,则BC=2r,∠AOB=3600－1200－900－900=600。

所以=r。

所以所求长度为 6(BC+)=12r+2r.

3.设甲,乙都买了n件,其中8元的共x件,9元的共y件(n,x,y均为整数),则

  ,所以, 9≤n≤10,n=10.

所以y=172－16n=12.

4.已知N=23(x+4y)为完全平方数,23为质数.所以可设x+4y=23×m2(m为整数)。

所以N=232×m2≤2392,m≤5,从而m2=1或4.

若m2=1,则x+4y=23,x=23－4y>0,y<5,y=1、2、3、4、5.

若m2=4,则x+4y=92,x=92－4y>0,y<23,y=1、2、3、4、5、6、7、8……22.

其中y的前5个值与m=1时y的相同。

所以合条件的正整数对(x,y)共有22对.

笫二试(A)

一.由题设得錒，a+b=8,ab=48+c2-8c

所以a、b是方程y2－8y+c2－8c+48=0的两个实数根.

由Δ≥0可得(c－4)2≤0,可知c=4

所以a+b=8,ab=16,a=b=4.

于是原方程为4x2+4x－4=0,x=。

二.

证明:(1) ΔABC是等腰三角形,QP∥AC,RP∥AB.

  ∠ABC=∠ACB,∠ABC=∠RPC,∠ACB=∠QPB.

   ∠ABC=∠QPB,∠ACB=∠RPC.

   QB=QP,RP=RC.

    P与P /关于RQ对称.

   QP=QP /,RC=RP /.

   QB=QP=QP /,RC=RP=RP /.

  点B、P、P /在以点Q为圆心的圆上,

点C、P、P /在以点R为圆心的圆上,

  ∠P /QB=2∠P /PB=∠P /RC.

  等腰ΔP /QB∽等腰ΔP /RC.

(2)连P /A

由等腰ΔP /QB∽等腰ΔP /RC,得∠ABP /=∠ACP /.

  点P /,B,C,A四点共圆.

点P / 在ΔABC的外接圆上.

三、若r=0,则方程为2x－2=0,有正整数根x=1.

若r≠0,设正整数根x1≤x2,则    ①，   ②

  ②－ ①,得 x1x2－(x1+x2)=4,变为(x1－1)(x2－1)=5.

   或   ,

   解得x1=2,x2=6 或x1=－4,x2=0.代入①,得r=－或 r=。

综上:r=0,－,  .