4.应用题中的推理问题

竞赛中常见的应用题不一定是以求解的面目出现，而是一种逻辑推理型.解答这类题目不仅需要具备较强的分析综合能力，还要善于用准确简练的语言来表述自己正确的逻辑思维.

例10（1986年加拿大数学竞赛题）有一种体育竞赛共含M个项目，有运动员A、B、C参加，在每个项目中，第一、二、三名分别得p1、p2、p3分，其中p1、p2、p3为正整数且p1＞p2＞p3，最后A得22分，B与C均得9分，B在百米赛中取得第一，求M的值，并问在跳高中谁取得第二名？

分析  考虑三个得的总分，有方程：

M(p1+p2+p3)=22+9+9=40,           ①

又        p1+p2+p3≥1+2+3=6，    ②

∴6M≤M(p1+p2+p3)=40，从而M≤6.

由题设知至少有百米和跳高两个项目，从而M≥2，

又M|40，所以M可取2、4、5.

考虑M=2，则只有跳高和百米，而B百米第一，但总分仅9分，故必有：9≥p1+p3,∴≤8，这样A不可能得22分.

若M=4，由B可知：9≥p1+3p3，又p3≥1，所以p1≤6,若p1≤5，那么四项最多得20分，A就不可能得22分，故p1=6.

∵4（p1+p2+p3）=40,∴p2+p3=4.

故有：p2=3,p3=1,A最多得三个第一，一个第二，一共得分3×6+3=21＜22，矛盾.

若M=5，这时由5(p1+p2+p3)=40，得：

p1+p2+p3=8.若p3≥2，则：

p1+p2+p3≥4+3+2=9，矛盾，故p3=1.

又p1必须大于或等于5,否则,A五次最高只能得20分,与题设矛盾,所以p1≥5.

若p1≥6，则p2+p3≤2，这也与题设矛盾，∴p1=5，p2+p3=3，即p2=2，p3=1.

A=22=4×5+2.

故A得了四个第一，一个第二；

B=9=5+4×1，

故B得了一个第一，四个第三；

C=9=4×2+1，

故C得了四个第二，一个第三.