例1.设x是正实数，求函数的最小值。

解：先估计y的下界。

又当x=1时，y=5，所以y的最小值为5。

说明 本题是利用“配方法”先求出y的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。例如，本题我们也可以这样估计：

但y是取不到-7的。即-7不能作为y的最小值。

例2. 求函数的最大值和最小值。

解 去分母、整理得：(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0.

当时，这是一个关于x的二次方程，因为x、y均为实数，所以

D=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y+3)³0, y2+3y--4£0,

所以　 -4£y£1

又当时，y=-4;x=-2时，y=1.所以ymin=-4，ymax=1.

说明　 本题求是最值的方法叫做判别式法。

例3.求函数，xÎ[0,1]的最大值

解：设，则x=t2-1

y= -2(t2-1)+5t= -2t2+5t+1

原函数当t=时取最大值

例4求函数的最小值和最大值

解：令x-1=t ()

则

ymin=

例5.已知实数x,y满足1£x2+y2£4,求f(x)=x2+xy+y2的最小值和最大值

解：∵

∴

又当时f(x,y)=6，故f(x,y)max=6

又因为

∴

又当时f(x,y)=，故f(x,y)min=

例6.求函数的最大值和最小值

解：原函数即

令 (0<t£1) 则y=5t2-t+1

∴当x=±3时，函数有最小值，当x=0时，函数取最大值5

例7.求函数的最大值

解：设，则

f(x)=

由于 0£a<1,故f(x)£，又当x= (k为整数)时f(x)= ,

故f(x)max=