排列组合问题主要依据分类计数原理和分步计数原理，其本身应用的知识并不多，但由于题目灵活多样，在各级各类考试中经常出现，在数学竞赛活动中尤其突出。其解题方法也多种多样，归纳起来，我们一般可用下面的方法来解决。

　　一、列举法：

　　例1、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有              。（1998年全国高中数学联赛）

　　解：从10个数中取出3个数，使其和为偶数，则这三个数都为偶数或一个偶数二个奇数。当三个数都为偶数时，有种取法；当有一个偶数二个奇数时，有种取法。要使其和为不小于10的偶数。我们把和为小于10的偶数列举出来，有如下9种不同取法：（0，1，3），（0，1，5），（0，1，7），（0，3，5），（0，2，4），（0，2，6），（1，2，3），（1，2，5），（1，3，4）。因此，符合题设要求的取法有+－9=51种。

　　例2、设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一。若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动。那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共             种。（1997年全国高中数学联赛）

　　解：如图：

　　青蛙不能经过跳1次、2次或4次到达D点。故青蛙的跳法只有下列两种：

　　（1）青蛙跳3次到达D点，有ABCD，AFED两种跳法。

　　（2）青蛙一共跳5次后停止，那么，前3次的跳法一定不到达D，只能到达B或F，则共有AFEF，AFAF，ABAF，ABCB，ABAB，AFAB这6种跳法。随后的两次跳法各有四种，比如由F出发的有：FEF，FED，FAF，FAB共四种。因此这5次跳法共有64=24种不同跳法。一共有2+24=26种不同跳法。

　　二、分类讨论：

　　在排列组合问题中，利用分类讨论来解决问题最为常见。如何分类、分几类成为解题的关键。下面举例说明。

　　例3、如图：在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同植物可供选择，则有            种栽种方案？（2001年全国高中数学联赛）

　　解：由题意，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。则可先考虑A、C、E．因此作如下分类：

　　（1）若A、C、E种同一种植物，此时共有4333=108种方法。

　　（2）若A、C、E种二种植物，此时共有343322=432种方法。

　　（3）若A、C、E种三种植物，此时共有222=192种方法。

　　所以共计有108+432+192=732种方法。

　　例4、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方案共有            种。

　　（注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同。）（1996年全国高中数学联赛）

　　解：本题情况较为复杂，我们对用了多少种颜色进行分类讨论。

　　（1）若只用三种颜色，从六种不同颜色中选用3种颜色有种选法。由于每两个具有公共棱的面染成不同的颜色，则正方体的相对面均为同色，由正方体的对称性知这样的染色方案只有一种。因此共有=20种不同的染色方案。

　　（2）若只用四种颜色，从六种不同颜色中选用4种颜色有种选法。则仅有一个相对面不同色，共有种不同的涂法。因此共有=90种不同的染色方案。

　　（3）若只用五种颜色，从六种不同颜色中选用5种颜色有种选法。则仅有一个相对面同色，不妨定为上、下底面，其有种涂法。再涂侧面，有3种涂法。因此共有3=90种不同的染色方案。

　　（4）用六种不同颜色来涂色。则六个面的颜色均不相同，假想颜色已经涂好，我们可以通过适当的翻转，使上底面均为同一种颜色（例如红色），再考虑下底面，则一定有5种不同的颜色。对下底面是同一种颜色的（例如蓝色），再用余下的四种颜色来涂侧面，有种涂法。因此共有53！=30种不同的染色方案。

　　一共有20+90+90+30=230种不同的染色方案。