1．函数的概念

我们在初中代数中学过函数的概念，它可以叙述为：

设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x 的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．

我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．

从映射的概念可以知道，函数实际上就是集合A到集合B的一个映射f：A→B，其中A，B都是非空的数集，对于自变量在定义域A内的任何一个值x，在集合B中都有唯一的函数值和它对应；自变量的值是原象，和它对应的函数值是象；原象的集合A就是函数的定义域，象的集合C就是函数的值域．很显然，C B．

因此，如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数①，记作

y=f(x)，

其中x∈A，y∈B．原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C(C B)叫做函数y=f(x)的值域．函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x)．

注：①函数(function)一词，是德国数学家莱布尼兹(1646年～1716年)在1692年首先采用的．在我国，函数一词是清代数学家李善兰(1811年～1882年)最初使用的，他在1859年与英国学者伟烈亚力(1815年～1887年)合译的《代数学》一书中，将“function”译作“函数”．

一次函数是集合A(A=R)到集合B(B=R)的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax+b(a≠0)与集合A中的元素x 对应，记为

f(x)=ax+b(a≠0)，

集合A为定义域，集合C(C=R)为值域(这里C=B)．

反比例函数是集合A={x|x≠0}到集合B(B=R)的映射f：A→B，

集合A为定义域，集合C={y|y≠0}为值域(这里C B)．

二次函数是集合A(A=R)到集合B(B=R)的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素x对应，记为

f(x)= ax2+bx+c(a≠0)，

在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号来表示．

自变量x在定义域中任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示．

例如，函数f(x)= x2+3x+1，当x=2时的函数值是

f(2)=22+3×2+1=11．

函数符号y=f(x)中的f表示对应法则，在不同的函数中f的具体含义不一样．例如，在函数f(x)= 3x中，对应法则f就表示“函数值是自变量

变量的倒数”．

2．函数的表示法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．

(1)解析法  就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．

例如，                           s=60t2 ，

                                    A=πr2，

                                    S=2πrl，

                                    y= ax2+bx+c(a≠0)，

等等都是用解析式表示函数关系的．

用解析式表示函数关系的优点是：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质．

中学里研究的函数主要是用解析式表示的函数．

(2)列表法  就是列出表格来表示两个变量的函数关系．

例如，数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，以及银行里常用的“利息表”等都是用列表法来表示函数关系的．

又如，下表也是用列表法来表示函数关系的．

用列表法表示函数关系的优点是：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值．

(3)图象法  就是用函数图象表示两个变量之间的关系．

例如，气象台应用自动记录器，描绘温度随时间变化的曲线就是用图象法表示函数关系的．

又如图2-3是我国人口出生率变化曲线，也是用图象法表示函数关系的．

用图象法表示函数关系的优点是：能直观形象地表示出函数的变化情况．

研究函数常常用到区间的概念．

设a，b是两个实数，而且a＜b．我们规定：

(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；

(2)满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a， b)；

(3)满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]．

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．

在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示(如上表)．在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．

实数集R也可以用区间表示为(-∞，+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”．我们还可以把满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合分别表示为[a，+∞)，(a，+∞)，(-∞，b]，(-∞，b)．

解：f(3)= 3×32-5×3+2=14；

f(-)=3×(-)2-5×(-)+2

= 6+5+2

=8+5；

f(a)=3a2-5a+2；

f(a+1)=3(a+1)2-5(a+1)+2

= 3a2+6a+3-5a-5+2

=3a2+a．

例2  求下列函数的定义域；

分析：给定函数时要指明函数的定义域．对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．

{x|x≠2}．

有意义的实数x的集合是{x|x≠2}．所以，这个函数的定义域是

{x|x≥-1}∩{x|x≠2}

=[-1，2)∪(2，+∞)．

注  从例2可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：

(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；

(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

(3)如果f(x)为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；

(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．

例3  下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？

解：(1)y=( )2=x(x≥0)，这个函数与函数y=x(x∈R)虽然对应法则相同，但是定义域不相同．所以这两个函数不是同一个函数．

而且定义域也相同．所以这两个函数是同一个函数．

这个函数与函数y=x(x∈R)的定义域都是实数集R，但是当x＜0时它的对应法则与函数y=x(x∈R)不相同．所以，这两个函数不是同一个函数．

注  函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则．因此，判定两个函数是否相同时，就要看定义域和对应法则是否完全一致．完全一致时，这两个函数才算相同．

例4  某种茶杯每个5元，买x个茶杯的钱数(元)

y=5x，x∈{1，2，3，4}．

画出这个函数的图象．

解：这个函数的定义域是集合{1，2，3，4}，它的图象由 4个孤立点组成，坐标分别是(1，5)，(2，10)，(3，15)，(4，20)如图2-4所示．

注  函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成．

例5  国内投寄信函(外埠)，假设每封信函不超过20 g付邮资80分，超过20 g而不超过40 g付邮资 160分，依此类推，每封xg(0＜x≤100)的信函应付邮资为(单位：分)：

画出这个函数的图象．

解：这个函数的图象是5条线段，都平行于x轴，如图2-5所示．

例6  画出函数

解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图2-6所示．

注  从例5和例6看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数．分段函数是一个函数，而不是几个函数．