F    黎曼猜想证明与黎曼情结探索
                                  威海  张熙文 （副教授） 2005.1
      谨将此文敬献给我们的中华民族，作为全民手中的有力武器，以实现取缔“1非素数”，复兴1是素数，完
  成数学革命 。
                                            摘要
       将 π(n)／(n／㏒n) 当作复数 s＝σ＋ti 的模来演绎，黎曼猜想便迎刃而解， 但1非素数是办不成这
  件事的，只有1是素数方能胜任愉快。黎曼也正是这样想的。于是，他于1859年10月向柏林科学院 提出了他
  的这个猜想的论文，作为历史的存照 。 一百多年 前的压抑 ，为 了保护科学殿堂下那白玉的基石，黎曼的用
  心是何等的 苦啊！
                                     Ⅰ.人类的思索之旅
       公元1742年，哥德巴赫猜想问世。那时，人类在数学知识的积累上尚远远不足，对该猜想实难做出准确
  的回答，要想证明哥猜，还须对素数的存在规律作更充分的探索。
       十九世纪初，数学家们如法国的勒让德和德国的高斯等都曾就π(n)与n,㏒n之间的关系作过深入的探讨
  。那是一个孕育与打造数学精英的时代，一个酝酿并产生素数定理的世纪，其结果直到1896年方见分晓，该规
  律终被阿达玛（法）与瓦莱·普森（比）各自独立地证得，这是一个里程碑式的成就：
                      lim π（n）／(n／㏒n)＝1,     (n→∞ ). 
       但这仅仅是一个当 n→∞时的远望镜头，仍然没有回答在漫长无际的自然数数列里素数分布的微观规律性
  。与此同时，另一些数学家们则提出各种不同类型的ζ(s)函数，进行研究，希望揭示素数在自然数数列中延绵
  展现的规律。1859年，德国数学家G·F·B·Riemann——黎曼在题为‘论不大于给定数的素数的个数\’的论文
  中首次提出： 
                 ζ(s)＝Σ 1／ns   (n＝1～∞).
                      ＝1＋1／2s＋1／3s＋……＋1／ns＋…      (s＝σ＋ti).
      在函数ζ(s)中，s作为复数，即s＝σ＋ti来考察，并猜测到该复数的实部Re（s）＝1／2为复数s集合
  的重要特征，这样，人类便首次将素数的存在同复数联系在了一起，猜想中说ζ(s)函数的全体复零点 （又称
  非平凡零点或非显然零点）即ζ(s)函数的全部解都落在σ＝1／2直线上， 并指出素数个数的渐近表达式与函
  数ζ(s)的性质密切相关，特别是与它在复平面上的零点分布有关。 在其后的一百四十多年里，数学家们曾前
  扑后继地求索，由于有的数学家在预设黎曼猜想成立的前提下，竟成功地证明了几个 数论难题，例如1923年，
  哈代（英）和李 特伍德（英）对充分大的奇数都可表为三素数之和的论证；又如1938年，华罗庚（中）曲巴
  科 夫（苏）伊斯特曼（英）分别独立地对几乎所有偶数都能表为两 素数之和的论证。这些预设前提的论证虽
  不 算 作正果，但却充分显示了黎曼猜想的巨大科学魅力，  由此为举世瞩目，黎曼猜想因而拥有数论云梯之
  美誉。它的研究对于解析数论和代数 数论的发展都有着极其深刻的影响，不仅如此，它还影响着一般函数论的
  发展。
                              Ⅱ.探索的曲折之路
       黎曼猜想所描述的复平面上的全体非平凡零点既然是与π(n) 对应的数的集合，都位于σ＝1／2直线上，
  这就说明它们与复平面的原点之间的最小距离︱s︱最小应大于1／2.
         ζ(s)＝1＋1／2σ＋ti＋1／3σ＋ti＋…,         (σ＝1／2, t≠0).
          ∵  s＝σ＋ti.
          ∴  ︱s︱2＝σ2＋t2 ＝(1／2)2＋t2.
          ∵  t≠0,  t2＞0.
          ∴  ︱s︱＞0.5 ,  ∵σ＝0.5≠1，  ∴ 0.5＜︱s︱最小＜1。
       现在，就让我们到π(n)的领地去寻找这一族︱s︱,其最小值应大于0.5而小于1的数值的集合吧。  
  必须指出，在哥德巴赫时代，数学界认为1是素数，但不幸的是在1742年到1859年的近一百年间，π（n）
  的领地里曾发生过一次逆 时倒退的事件，也就是由1是素数向1非素数的蜕化，这是一次随心所欲地主观唯
  心主义和形而上学对数学的亵渎，是人类在基础科学上的重大失误，但数学家们却因循固守，不知悔改，延
  误至今，因而出现了下面的结果：
      1非素数，π（1）＝0.
                     n                  π(n)                 π(n)／(n／㏒n)
                     2                   1                      0.3465
                    …                  …                      …
                   113                  30                      1.2550(最大)   
                    …                  …                      … 
                   107              664579                      1.0711
                    …                  …                      …
                   ∞                 π(∞)                    1
      这个结果是可悲的，并引出种种 非议。
      1914年，李特伍德（英）曾对黎曼猜想复平面上 矩形0≤σ≤1,0＜t＜T内的复零点作过大量验证，他
   在 1976年说过，从直觉上倾向于否定黎曼猜想，其后继者有我们熟知的Varga（曾访问过中国）等人形成
   一个黎曼猜想的否定派，而否定黎曼猜想的唯一根据只能是︱s︱＜0.5,  即当n＝2时，︱s︱＝0.3465,它                    
   像一株矮小的狗尾草，末梢随风摇荡，却始终无法搭靠到直线σ＝0.5上，虽然其他的︱s︱都大于0.5,但
   数学作为一门无矛盾演绎的科学，一票否决权是神圣不可侵犯的，只要有一点矛盾存在，便被判定为永远不
   能成立。只是由于黎曼猜想在数论中已经建立了的显赫功绩，才使它暂时没有陷入被否定的深渊，黎曼猜想
   处于进退维谷风雨飘摇的尴尬境地。
       好在今天，情况已有了决定性的好转，2004年8月25日，在中国，一位数学爱好者在他投给中科院 的
   〈数学学报〉的论文‘任一大于4的偶数均可表为二素数之和’中，在证明哥德巴赫猜想的同时，也无可争
   辩地证明了“1非素数”是错误的，1是素数才是正确的， 有了他的这篇扭转乾坤的论文，我们可以堂堂正
   正地使用下面的结果：
       1是素数，π（1）＝1.
                    n                  π(n)                 π(n)／(n／㏒n)
                    2                   2                      0.6931
                   …                  …                       …
                   19                   9                      1.3947(最大)
                   …                  …                       …
                  107               664580                      1.0711
                   …                  …                       …
                  ∞                π(∞)                     1
         ∵  π(n)／(n／㏒n)＞0.5,     而 0.5＜π(2)／(2／㏒2)＜1,
         ∴   ︱s︱＝π(n)／(n／㏒n),  (π(1)＝1). 便成为︱s︱选择的唯一标的。
     
                                      Ⅲ.  论证。
   定理。ζ（s）＝Σ 1／ns, (n＝1～∞)
                ＝1＋1／2σ＋ti＋1／3σ＋ti＋…, (σ＝1／2,t＝(√(4(㏒nπ（n）／n)2－1))／2),(π（1）＝1).
     证。 设 s＝σ＋ti 为 f(s)＝s2＋bs＋c＝0, (b≠0,c≠0)的复根。
              则 σ＋ti＝－b／2＋(√(4c－b2 ))i／2.  即 σ＝－b／2,  t＝(√(4c－b2))／2.
            ︱s︱2＝σ2＋t2＝b2／4＋(4c－b2)／4＝c.
          命 ︱s︱＝㏒nπ(n)／n,(π（1）＝1).  ∴ c＝(㏒nπ(n)／n)2,(π(1)＝1).
          当 n＝1,  ︱s︱＝㏒11／1＝0,  s＝0， σ＝0, t＝0, 没有复零点，只有一平凡零点。
          当 n＞1,  ︱s︱＞0, σ＞0， （σ≠0）.    －b／2＞0,  b＜0.      ⑴
            ∵  t≠0, 且t为实数。 ∴  4c＞b2,  4︱s︱2＞b2.                      
                 2㏒nπ(n)／n＞－b,  (π（1）＝1).  b＞－2㏒22／2＝－1.3862  ⑵
          综合⑴,⑵,  ∴   －1.3862＜b＜0.   取b＝－1,
             ∴    f(s)＝s2－s＋(㏒nπ(n)／n)2＝0,   (π(1)＝1).
  ∴  ζ(s)＝Σ 1／ns ,    (n＝1～∞).
           ＝1＋1／2σ＋ti＋1／3σ＋ti＋…,  (σ＝1／2,t＝(√(4(㏒nπ（n）／n)2－1))／2),(π(1)＝1).
     ∴ 黎曼ζ(s)函数有无穷多个非平凡零点，(2≤n＜∞ ).全部都在σ＝1／2直线上。
            定理得证。
                              Ⅳ. 悠悠岁月 沉沉情结
    黎曼以复数s的实部Re(s)＝1／2为前提，预言了复数s的虚部Im(s)的构成：t绝不应再是一个常数，
 它只应是一个包含素数分布的关键因式在内的函数，而㏒nπ（n）／n,(π(1)＝1)便是当之无愧的唯一的黎曼
 所期待的素数分布的关键因式，它在延绵无际的自然数数列里陪伴每一个自然数，以一个永恒不变的函数形
 式毫不间断地（尽管素数可以出现大距离的间断）依次展现着变幻无常的素数分布的微观规律性，从2直到
 永远（2≤n＜∞ ).这正是广义黎曼猜想对科学所奉献的宝贵的思想内涵。
      有趣的是，黎曼为什么特别强调σ＝1／2 ？而不刻意选择σ＝1／4 ？ 难道黎曼不知道后者更是驾轻
 就易，避免争议，急功近利，名垂青史的平坦大道吗？为什么偏要冒权威之大不韪，为人类追日取火，不顾
 焚身，大义凛然，厉声疾呼σ＝1／2呢？
      原来，在黎曼的心胸中，1是素数才是大自然规律的光明正大所在，这正是黎曼身处混沌而独清，出于
 污泥而不染的高贵品格。他仅仅遗憾于不能以演绎的形式亲手证明1非素数的谬误和1是素数的正确，而又
 不甘于沉沦，只有用猜想的形式把这一科学信念留给人间，寄真理大白于后来人，可谓忧深思远，用心良苦。
     现在，可以告慰黎曼在天之灵的是： 你记挂一百四十多年的情结，终于为后来人解开。黎曼啊，你的灵
 魂可以安息了。
     今天，人类已跨入21世纪，哥德巴赫猜想证明提出了π（1）＝1，相继素数差问题证明也提出了π（1）
 ＝1， 黎曼猜想证明又提出了π（1）＝1，这三次科学发现珠联璧合即将为人类科学殿堂更换这重要的白玉
 的基石，素数1的回 归还联系到人类未来命运——提前告别太阳系的轨道选定，人类必将实现的摆脱太阳十
 亿年后带来的那场焦土浩劫的壮举，对我们提出了时间t的新概念——十亿年太久只争朝夕：
              人类未来命运＝㏒（科学的发展） 1000000000－t.
     科学啊，让我们再快一点，更快一点吧！对于全世界的科学工作者，这是义不容辞的使命，作为人类科
 学乐章的前奏，数学家们更应认识自己的历史责任，与时俱进走在科学发展的最前头。
     链接文章：叫板中国科学院 挑战中国数学会。
               为了找回科学殿堂下那白玉的基石 溯洄从之道阻且长。