作者:佚名
| 发表日期:2007-11-07
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文献[3 ]对用平移补空法制作单偶数幻方作了很深入的研究。在这一节我们向读者介绍文献[3]的精巧设计（某些地方作者作了一些改进与推广）。
这里首先给出直接填写的图5—9A（它是制作过程图）及由该图平移补空（实际上就是平移复位）而得到的六阶幻方图5—9B。
观察图5—9，不难看出其制作规律是：
1、对于六阶自然方阵第3 ～ 6行的数，每一行按“弧形”从上到下依次填写的（例如在图5—9A中，将六阶自然方阵第3行的数13、14、15，从右上角起开始向右下方向填写，然后将数16、17、18接着向左下方向填写）。制作六阶幻方时，将六阶自然方阵中间两行的数填写在幻方的两条对角线上，使两条对角线上的数组是六阶幻和数组。
2、六阶自然方阵的前两行各数是从下到上依次相间填写的：第一行的六个数“先左后右”相间填写(例如数0+1、0+3、0+5填在左边，其余三数填在右边）；第二行的六个数“先右后左”相间填写。
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25 12 19 * * * * 13 11 31 19 25 12 11 31 13
26 10 20 * * 14 9 32 10 20 26 32 9 14
27 8 21 15 7 33 27 8 21 15 7 33
28 5 12 16 6 34 28 5 12 16 6 34
29 3 13 * * 17 4 35 3 13 29 35 17 4
30 1 24 * * * * 18 6 36 24 30 1 6 36 18
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A B
图5—9 用平移补空法制作和形式六阶幻方过程示例
在用平移补空法制作的各个幻方中，本书都用向上的箭头、向下的箭头与“＃”三种标记依次表示从上到下填写、从下到上填写与相间填写。这些标记都安排在自然方阵每一行的第一个数的上方或下方。增加这些 标记，一定能使大家阅读更加方便。
平移补空法有多种变通， 图5—10就是将制作图5—9B幻方的方法作某种变通而制作的两个六阶幻方。前者是改变了自然方阵中四行数的填写位置，后者是改变了相间填写的方法（将蛇形填写改为左、右、右、左 / 左、右、右、左 / 左、右、右、左 ，当阶数增大时，将“左、右、右、左 ”重复多次，一直到将自然方阵的两行数填写完）。
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19 12 25 31 11 13 19 25 12 13 31 13
26 20 9 10 14 32 9 20 26 32 14 10
8 27 21 15 33 7 27 8 21 15 7 33
5 28 22 16 34 6 28 5 22 16 6 34
29 23 4 3 17 35 4 23 29 35 17 3
24 1 30 36 2 18 24 30 1 2 36 18
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A B
图5—10 用平移补空法制作的两个六阶幻方
文献[3]已将这种方法的要点交代、并将此法推广到制作任何一种单偶数阶幻方。其要点是：
A、从上到下填写（全部是一般填写）的行数应比总行数的一半还要多1。
B、“相间填写”（蛇形填写或另外一种形式填写）的两行必须是自然方阵相邻的两行的数，这些数必须填写在整个幻方左右对称的位置。
C、两条对角线上应填写自然方阵中上下对称的某两行的数，使两条对角线上诸数的和一定能够等于幻和（只有这样，才能使幻方的两条对角线上诸数之和等于幻方。例如在图5—11中，两对角线上是填写的十阶自然方阵第3、第8行的数）。
D、除了“相间填写”的两行以外， 应将其余各行的序号分成两组、使两组中各行的序号数的和是相等的。例如在图5—9B幻方中，除了行的序号数1与2以外，左侧各行的序号数的和为5+4=9，右侧各行的序号数的和为3+6=9，两者是相等的。又如在图5—11这个用平移补空法制作的十阶幻方中，相间填写的是第4、第5行。除了这两行以外，幻方中左侧的行号是3、9、10、1，右侧的行号是7、6、2、8，两者的行号之和都是23。
据这些要点，用平移补空法制作单偶数阶幻方的灵活性是比较大的。只有制作六阶幻方时，两条对角线上只能填写六阶自然方阵的中间两行，灵活性较小。
文献[3]作者刘缉熙先生的精巧设计，使得平移补空法成为丰富多采的、单偶数阶幻方的一种通用制作方法。
图5—11是作者用这种方法制作的一个十阶幻方，制作过程从略。在该幻方的上方与下方，也采用“＃”等符号标记十阶自然方阵中各行的数的填写方案。
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21 50 81 91 10 70 51 11 49 71
9 22 47 82 92 52 12 48 72 69
93 8 23 46 83 13 45 73 68 53
84 94 7 24 43 44 74 67 54 14
42 85 95 6 25 75 66 55 15 41
39 86 96 5 26 76 65 56 16 40
87 97 4 27 38 37 77 64 57 17
98 3 28 35 88 18 35 78 63 58
2 29 34 89 99 59 19 33 79 62
30 31 90 100 1 61 60 20 32 80
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图5—11 用平移补空法制作的十阶幻方
文献[3]中给出了用平移补空法制作的一个14阶幻方，该幻方相间填写的是自然方阵第13、14行的数，这两行的数是按照第二种相间填写方法依次填写的。这里只给出该幻方首尾两行以及第一列的各个数，据这些数据以及平移补空法的制作规则，感兴趣的读者不难制作出整个14阶幻方。
第一行依次各个数：（99、195、168、113、14、29、71、57、43、28、127、154、196、85）；
最后一行依次各个数：（112、170、155、126、1、42、84、70、56、15、140、141、169、98）
第一列依次各个数（99、72、31、11、117、163、183、182、160、122、4、40、83、112）。