作者:佚名
| 发表日期:2007-11-07
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自我扩张法与第四章的田格代换法大体相同，只是制作方法复杂一些。 具体的扩张方法有好几种，这一节只介绍曹陵先生设计的自我扩张方法。这种方法虽然仍然比较复杂，但据作者所知，它自我扩展法中较好的一种。其制作步骤是：
1、 将空白的单偶数阶方阵横竖分成若干个田格（每一个方格只属于一个田格），并将“中心田格行”分成四部份：中心田格、心左田格、左条与右条。前两部分都只有一个田格（注意，当阶数是6时，左条不存在，“中心田格行”实际上只分成三部分）。 “中心田格行”上方作为一个部份，称为上片；“中心田格行”的下方分成两部份，心下田格与下片。总之，整个方阵被分成七部份（六阶方阵只分成六部份）。在一般情况下，计有三“田格”、二“条”及二“片”，在图5—12中我们标记了七个部分（请读者注意：该图中的二“条”与二“片”是可以无限扩展的）。
2、制作2 t 阶幻方时（其中 t 为奇数，例如 t = 3时，2t = 6），取一个 t 阶幻方的某种表现形式作为布局幻方（例如制作六阶幻方时，取三阶幻方的某种具体表现形式作为布局幻方）。请读者注意，以同一个幻方的不同表现形式作为布局幻方进行扩张后，所制作的幻方是不同的。
3、 制作一个田格型初始方阵。图5—13A、图5—14A是两个不同的六阶田格型初始方阵。前者各个田格中是四个连续自然数，后者各个田格中四个数是依次增加同一个数（在图5—14A中，依次增加数9），也就是将组成这个方阵的全部自然数，先从初始方阵的左上角田格起，每一个田格中依次填写一个数（填写在该田格的左上角），然后仿照上述方法每一个田格依次填写一个数，直到将组成这个方阵的自然数填写完为止。据初步研究，对于其它单偶数阶来说，也只有这样两种可以采用的单偶数阶自我扩张初始方阵。
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4
1 3 1 3 2 4 1 2 4 2 4 2 4 2
4 2 4 2 3 1 3 4 1 3 1 3 1 3
2 3 2 3 2 3 4 1 2 3 2 3 2 3
4 1 4 1 4 1 3 2 4 1 4 1 4 1
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1
图5—12 自我扩张法各部分填写顺序示意图
4、 布局幻方中的数所起的作用与第四章中的田格代换法类似，不同的是这里不分“大数”与“小数”，而是对照图5—12确定幻方中某个田格应填写的四个数的填写顺序 。这就是用自我扩张法制作单偶数阶幻方的复杂所在。
取图5—13B这个三阶幻方作为布局幻方、以图5—13A为初始方阵用自我扩张法制作六阶幻方时，这里列举两个田格的具体填写方法：1、在布局幻方中，左上角方格的数是4，因而左上角田格应填写初始方阵第四田格的4个数13、14、15、16；参照图5—12.这些数应按上片的规则依次填写。2、在布局幻方中，第二行第一个方格的数是3，因而“第二田格行”的第一个田格应填写初始方阵的第三田格的数，参照图5—12，这些数应按心左田格的规则依次填写。在这一节，我们在用自我扩张法制作的各个幻方中，都用两条长横线，将幻方的“中心田格行”标记出来，以便读者阅读。
1 2 5 6 9 10 15 14 35 34 7 6
3 4 7 8 11 12 13 16 33 36 5 8
13 14 17 18 21 22 10 12 17 18 28 26
15 16 19 20 23 24 4 9 2 11 9 19 20 25 27
25 26 29 30 33 34 3 5 7 30 31 4 1 22 23
27 28 31 32 35 36 8 1 6 32 29 3 2 24 21
A 初始方阵 B 布局幻方 C 六阶幻方
图5—13 用自我扩张法制作六阶幻方示例之一
如果取图5—14A作为初始方阵，取图5—13B作为布局幻方，得到图5—14B六阶幻方。
单偶数阶幻方的自我扩张法制作法有数量不多的变通：1、可以将上文所给出的两种初始方阵先旋转180度，再作为初始方阵进行制作。2、可以将上文所给出的两种初始方阵的各个田格同时旋转180度，再作为初始方阵进行制作。3、可以连续作上述两种变换。
例如将图5—14A这个初始方阵作前两种变换，然后采用相同的布局幻方进行制作，就得到图5—15中的两个六阶幻方。
我们在第44页曾指出互补数代换变换是任何一个四阶幻方的保性变换，实际上这种变换是任何一个由前n 2 个自然数（n为大于3的自然数）组成的n阶幻方的保性变换。仔细比较图5—14B与图5—15A这两个幻方，也可以说是将前者作互补数代换变换（例如用数32代换数5、用数3代换数34、用数10代换数27）而得到后者。这就揭示了不同制作方法之间的内在联系。
在图5—14B与图5—15B这两个幻方中，据两者的初始方阵的关系以及采用相同的布局幻方，就知道两者各个田格中的数整体上是相同的。再对照图5—12，可以判定将初始方阵作这种变换后，用扩张法制作的方阵一定是幻方。
1 10 2 11 3 12 22 13 27 18 20 11
19 28 20 29 21 30 4 31 9 36 2 29
4 13 5 14 6 15 12 30 5 14 34 16
22 31 23 32 24 33 21 3 23 32 7 25
7 16 8 17 9 18 17 26 28 1 15 24
25 34 26 35 27 36 35 8 19 10 33 6
A 初始方阵 B 六阶幻方
图5—14 制作六阶幻方示例之二
15 24 10 19 17 26 13 22 18 27 11 20
33 6 28 1 35 8 31 4 36 9 29 2 11 18 25 2 9
25 7 32 23 3 21 21 3 32 23 7 25 10 12 19 21 3
16 34 14 5 30 12 12 30 14 5 34 16 4 6 13 20 22
20 11 9 36 22 13 26 17 1 28 24 15 23 5 7 14 16
2 29 18 27 4 31 8 35 10 19 6 33 17 24 1 8 15
A B
图5—15 用变通的方法制作六阶幻方 图5—16
43 42 71 70 99 98 7 6 35 34
41 44 69 72 97 100 5 8 33 36
39 38 47 46 75 74 83 82 11 10
37 40 45 48 73 76 81 84 9 12
13 15 22 24 49 50 80 78 88 86
16 14 23 21 51 52 77 79 85 87
92 93 18 19 28 25 54 55 62 63
94 91 20 17 27 26 56 53 64 61
66 67 94 95 2 3 30 31 58 59
68 65 96 93 4 1 32 29 60 57
A
61 36 68 43 75 50 52 27 59 34
11 86 18 93 25 100 2 77 9 84
60 35 62 37 69 44 71 46 53 28
10 85 12 87 19 94 21 96 3 78
4 54 31 81 13 38 93 45 97 47
79 29 56 6 63 88 20 70 22 72
48 73 30 55 82 7 39 64 41 66
98 23 80 5 57 32 89 14 91 16
42 67 49 74 26 51 33 58 40 65
92 17 99 24 76 1 83 8 90 15
B
图5—16 用自我扩张法制作的两个十阶幻方示例
给定一个十阶田格型初始方阵及一个五阶布局幻方，就可以用自我扩张法制作十阶幻方（这时，整个方阵被分成七部分，制作时更要特别细心）。图5—17的A图、B图分别是采用类似于图5—13A、图5—14A的十阶初始方阵，用自我扩张法制作的两个十阶幻方（两着所采用的五阶布局幻方是相同的，如图5—16所示）。
林镜清先生点评
人们一般将不能被4整除的偶数称为单偶数。单偶数阶幻方的制作一般都较为复杂。本书所介绍的四种制作方法，是作者精选出来的，都是制作单偶数阶幻方的通法，异彩纷呈，令人眼花潦乱。
在用对调法制作的六阶幻方中，建议读者将行方向左右对称的对调的每一对数用线条连起来，对列方向上下对称对调的每一对数也照此办理。这样，就一定能对对调法加深理解。在用对调法制作14阶幻方时，应将左上区的某三条左上对角线上的数作穿心对调（其中数3是（14 — 2）÷4的运算结果）。
在图5—10B这个十阶拼合型幻方中，每一区的25个数都属于初始方阵中同一位置的区。左上区与右下区的行向步相同，都是“下1右1”，呈现首尾相接的态势；另外两区的行向步是“下1右1”，也有首尾相接的特点。特别是每一对左右对称两区的主步是左右对称的、转向步相同，而起点方格又成左右对称，使初始方阵中每一对左右对称的数在幻方中仍然是左右对称的，构图甚为美观，也便于进行检验。
平移补空法在填数时成蝶形展开，平移复位时又把外展的翅膀缩进补空，堪称一绝。刘缉熙先生对这种方法研究很深入，本书作者又作了某些补充，使得更加完美。
自我扩张法是把1 扩为4，采用多种“线路”进行扩张，使一个很复杂的问题找到了一种统一的解决方法。设计者曹陵先生付出的艰辛劳动，结出了丰硕的成果。