作者:佚名
| 发表日期:2007-11-07
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这里先给出几个概念：1、在每一个方格中都恰好填写两个自然数的方阵，并且在整个方阵中所有的自然数是各不相同的，称这个方阵为二元方阵，例如图6—32是二元方阵。类似的有二元幻方的概念。2、如图6—30所示的各行、各列、两对角线上诸数的积都相等的方阵称为四阶二元积幻方，相等的乘积称为幻积（图6—30幻方的幻积是6720），显然积幻方都是广义幻方，由连续自然数组成的幻方显然不可能是积幻方。作者是在认真学习文献[28]所介绍的几个四阶积幻方受到启发后，才得以写出这一节文字的。
1 12 10 56（79） 1×1 4×3 2×5 8×7
40 14 4 3（61） 8×5 2×7 4×1 1×3
28 5 24 2（59） 4×7 1×5 8×3 2×1
6 8 7 20（41） 2×3 8×1 1×7 4×5
（75 39 45 81）
A 自然数形式 B 积形式
图6—30 四阶积幻方的不同表现形式
图6—30B揭示了图6—30A这个四阶积幻方的组成秘密（A图中每一数由两个数相乘而得到）。图6—30B的结构是很特殊的：1、它的各个方格中第一个乘数取1、2、4、8这四个数值，每一个数值在方阵的各行、各列、两条对角线上都是均匀分布的。2、它的各个方格中第二个乘数取1、3、5、7这四个数值，也具有在各行、各列、两对角线上均匀分布的特点。3、第一个乘数与第二个乘数是配合得很好的，使得到的各个乘积是16个各不相同的自然数。据研究，这是制作四阶积幻方必须满足这三个条件。
我们作进一步的研究，考察图6—30A这个积幻方是不是还有某些特点：1、计算这个积幻方各行诸数的和，依次得到79、61、59、41这四个数，其中79 + 41 = 120、61 + 59 = 120，两者是相等的。列方向的四个和依次是75、39、45、81这四个数，也有75 + 45 = 39 + 81 = 120的特点（在图6—30A这时四阶积幻方中，我们将行方向四个和、列方向四个和都标记在幻方的右方与下方）。行方向、列方向这种相等的现象不是偶然的，而是由于图6—30B第一行的第二个乘数依次四个数值1、3、5、7具有1 + 7 = 3 + 5这样的特点所带来的必然结果。2、图6—30B这个积幻方的各个田格、各个变形田格、各个梯级、各个Q方中的4个乘积中的8个乘数都遍取1、8、4、2、与1、3、5、7这8个不同的值，因而这16个图形中各个乘积是相等的。也就是这个积幻方是四阶六花积幻方。
15 52 22 72（161） 1×15 4×13 2×11 8× 9
88 18 60 13（179） 8×11 2× 9 4×15 1×13
36 11 104 60（181） 4× 9 1×11 8×13 2×15
26 120 9 44（199） 2×13 8×15 1× 9 4×11
（165 201 195 169）
A B
图6—31 另一个四阶积幻方
据此，我们可以仿照图6—30A幻方制作具有这一特点的新的四阶积幻方。例如使图6—30B幻方第一个乘数不变，将第二个乘数1、3、5、7依次换成15、13、11、9（方阵中每一个方格都要这样依次代换），就得到图6—31B这个四阶积幻方。在这个新的四阶六花积幻方中，行方向四个和、列方向四个和也标记在幻方的右方与下方。它确实与图6—30A积幻方具有同样的和相等的特点，它的幻积是1235520。