只要将图6—30与图6—31这两个四阶积幻方中各个同一位置的自然数拼合起来就得到图6—32A这个四阶二元双重幻方。为什么会得到四阶二元双重幻方呢？

        1、由于拼合前的两个方阵都是积幻方，拼合后每一行、每一列、两对角线上8数之积显然是相等的（图6—32A幻方的幻积是6720×1235520 = 8302694400）。2、由于拼合前的两个方阵都具有行方向、列方向之和的某种相等的关系，而且拼合前的两个方阵相等的和作了错位安排，因而拼合后每一行、每一列、两对角线上8数之和也是相等的（图6—32A幻方的幻和是120+360 = 480）。

       图6—32B则是用类似的方法制作的另一个四阶二元双重幻方，它的幻和、幻积都与图6—32A的取值相同。

       1, 15   12, 52   10, 22   56, 72            1, 15    20, 44     6, 26   56, 72

     40, 88   14, 18     4, 60     3, 13          24,104   14, 18     4, 60     5, 11

     28, 36     5, 11   24,104    2, 30          28, 36      3, 13    40, 88    2, 30

       6, 26    8,120     7,  9    20, 44          10, 22      8,120    7,   9   12, 52

                           A                                                  B

                          图6—32  两个四阶二元双重幻方 

        同样的，这样制作的四阶二元双重幻方也是四阶二元六花双重幻方。也就是它有4个行数组、4个列数组、4个田格数组、4个变形田格数组、4个梯级数组、4个Q方数组一共24个固定位置的幻和幻积数组。

附：只有16个幻和数组的四阶幻方

据许仲义先生研究，每一个四阶幻方至少有14个幻和数组——4个行数组、4个列数组、4个变形田格数组、2个对角线数组。狭义四阶幻方有86个幻和数组，大多数广义四阶幻方的幻和数组的数量也不少于40个。作者试图制作只有14个幻和数组的四阶幻方，未能成功。仅于2002年1月15日制作了一批只有16个幻和数组的四阶幻方。A图与B图是其中的两个（B图是将A图作“行列1 3 2 4”同步重排变换得到的）。在A图幻方中多出来的2个幻和数组是（32，37，82，101）与（31，37，83，101）。

作者曾对组成A图四阶幻方的16个自然数作多次调整，使之成为只有14个幻和数组的四阶幻方。结果，所得到新的四阶幻方的幻和数组往往多于16个，也得到了少量只有16个幻和数组的四阶幻方。

                1   131     83     37             32     99     81     40

                 99     32     40     81           131       1     37     83

                 59     82     98     13               7     93   121     31

                 93       7     31   121             82     59     13     98

                           A                                   B

            两个只有16个幻和数组的四阶幻方（S = 252）