还原问题

　　同学们，我们先来玩一个游戏.

　　你心里想一个自然数（不要告诉任何人），你把这个数加上3，再乘以5，然后减去你想的这个数，然后再加上5，再除以2，最后减去10.好了，告诉我最后得的结果，我马上可以猜出你想的数是多少.你信不信？

　　一定会有小朋友说，这个游戏我也会玩，我反过来算就可以知道你心里想的是什么数.比如你最后的结果是10，我就将10先加10，再乘以2，再减去5，再….

　　哦，再怎么办？不好办了吧.

　　其实这个游戏计算程序是事先设计好了的，最后的结果总是你所想的数的2倍，比如你想的数是7，按设计程序计算，最后结果一定是14.我们把算式写一下：

　　［（7+3）×5-7+5］÷2-10=（50-7+5）÷2-10

　　=48÷2-10=14.

　　因此只要告诉我最后结果，我一定知道你心里想的是什么数.

　　不过刚才那个小朋友说的方法也是解下面一类问题常用的方法.

　　某数经过一系列的四则运算后，结果知道，要求这个数.

　　我们就采用反推的方法，从结果开始，原来是加，现在就减；原来是乘，现在就除，最后一定可以求出这个数.

　　这样一类问题，我们称之为还原问题.

问题23.1 某数加7，乘以5，再减去9，得51，求这个数.

解 我们反过来算：

　　（51+9）÷5-7=60÷5-7=12-7=5.

　　答：这个数是5.

　　请同学们验证一下，按题目的运算顺序，看能否得到51.

问题23.2 有一位老人说：“把我的年龄加上17，再用4除，再减去15后乘以10，恰好是100岁.”这位老人有多少岁？

　　请同学们自己算一下，看这位老人有多少岁.

问题23.3 在做一道加法题时，小胖把个位上的5看成9，把十位上的8看成了3，结果得到123，问正确答案应该是多少？

分析 由于小胖粗心看错了题，得到错误的结果，可以利用还原的方法去求出正确的答案.

解 小胖把个位上的5看成9，多加了4，因此要减去4；他把十位上的8看成了3，少加了50，所以应当再加上50.这样正确的答案应该是：

　　123-4+50=169.

　　答：正确答案应为169.

问题23.4 某人去银行取款，第一次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，这时存折上还剩125元.他原有存款多少元？

分析 看起来这个问题很复杂，实际上这还是一个还原应用题，我们照样可以反过来求出原先的存款数.

解 这个人第二次取了余下的一半还多10元，这时还剩125元，说明余下的一半是

　　125+10=135（元）.

　　因此余下钱数应为 135×2=270（元）.

　　而这270元是这个人第一次取了存款的一半还多5元而剩下的，因此存款的一半应为：

　　270+5=275（元）.

　　所以这个人实际存款为：

　　275×2=550（元）.

　　列综合算式为：

　　［（125+10）×2+5］×2=（270+5）×2

　　=550（元）.

　　答：这个人原有存款550元.

　　我们来验证一下所得的结果是否正确.

　　第一次这个人取了存款的一半还多5元，就是

　　550÷2+5=280（元），

　　还剩下

　　550-280=270（元）.

　　第二次又取了余下的一半还多10元，就是

　　270÷2+10=145（元），

　　还剩下 270-145=125（元）.

　　说明求的结果是正确的.

甲，这时他们各有240元.两人原来各有多少元钱？

　　此时甲有

　　240×2-300=180（元）.

　　此时乙有

　　240×2-216=264（元）.

　　答：甲原有216元，乙原有264元.

问题23.6 兄弟三人分24个苹果，每人所得个数分别等于其三年前各自的岁数.如果老三把所得的苹果的一半平分给老大和老二，然后老二再把现有的苹果的一半平分给老大和老三，最后老大再把现有的苹果的一半平分给老二和老三，这时每人所得的苹果数恰好相同.求兄弟三人年龄各有多少岁.

分析 要求三人的年龄，必须先求各人所得的苹果数.为此我们反过来推导.为了便于理解和说明，可以列出一个表，从最后每人所得苹果数相等，倒推出开始每人所得的苹果数.

解 由于总共24个苹果，最后三人所得苹果数相等，因此每人都分得8个苹果.为了便于说明，请看表23－1.

　　由表23－1中可以看出老大、老二、老三原有苹果分别为13、7、4个，因此他们的年龄分别为16岁、10岁、7岁.

　　答：老大、老二、老三的年龄分别是16岁、10岁和7岁.

　　同学们可以验证一下，由表中的最下面一行推上去，看是否能推出三人的苹果都是8个.

　　列表的方法也是我们解应用题常用的方法.特别是当对象和程序较多的情况下，利用表格可以把中间过程清楚地表示出来，从而容易得到正确的结果.

　　下面再看一例.

问题23.7 甲、乙、丙、丁四人各有故事书若干本，甲将自己的故事书拿一部分给乙、丙、丁，使他们的书增加1倍，然后乙又拿出一部分故事书使得甲、丙、丁的书增加1倍，然后丙又拿出部分故事书使得甲、乙、丁的书增加1倍，最后丁也拿出部分故事书使得甲、乙、丙的书增加1倍.此时甲、乙、丙、丁手中都是32本书.问甲、乙、丙、丁四人原来各有多少本书？

解 我们还是采取倒推的办法.从最后一次丁分书出来考虑起.

　　由于丁拿出部分书分给甲、乙、丙后，甲、乙、丙的书各自增加了1倍，都为32本，说明在此之前，甲、乙、丙手中的书都为：

　　32÷2=16（本）.

　　丁手中的书应为：

　　32+16×3=80（本）.

　　同样可推出在丙拿出书之前，甲、乙、丁手中的书分别为：

　　8本、8本、40本，此时丙手中的书应为：

　　16+8+8+40=72（本）.

　　继续下去，…，就可推出原来四人手中各有的书.

　　为方便起见，我们仍然列表23-2加以说明.

　　由表23-2可知，甲、乙、丙、丁最初各有书66本、34本、18本和10本.

　　答：甲、乙、丙、丁原来各有66本、34本、18本、10本书.

练习23

　　1.一个数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6.求这个数.

　　2.一个数除以5，乘以7，减去20再加上15等于100.求此数.

　　3.一个数加上7，乘以3，减去15，得到最大的3位数.求这个数.4.有一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的2倍，如果把十位上的数减3，个位上的数加3，就得到另外一个两位数，把这个两位数与原来的两位数相加，和是141.求这个两位数.

　　5.小红买书用去所带钱的一半，买练习本又用了2角5分，买铅笔用了剩余钱的一半，这时小红还有2角7分钱.问小红带了多少钱？

　　6.书架上有上、中、下三层，一共分放了192本书.现在先从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层现有的同样多的书放到上层，这时三层的书刚好相等.问这个书架上、中、下层原来各有多少本书？

　　7、甲、乙、丙三只猴子各有桃子若干个.甲猴从乙猴手中抢来一半，吃掉一个；乙猴又从丙猴手中抢来一半，吃掉一个；丙猴又从甲猴手中抢来一半，也吃掉一个，最后三只猴子都有9个桃子.问原来它们各有桃子多少个？