同余与尾数

　　两个整数在作除法运算时，被除数和除数之间的关系不全是整除的关系.

　　如果a是整数，b是一个自然数，那么一定有两个整数q和r，使得

　　a=b×q+r（0≤r＜b）.

　　当r=0时，则称a被b整除.

　　当r≠0时，r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商，r/b叫做a除以b的尾数.

　　如果a、b两个整数除以自然数m后所得的余数相同，就称a、b对于模m同余.记作

　　a≡b（mod m）.

　　同余有下面的一些性质：

　　a、b是整数，m是自然数.

　　1.如果 a≡b（mod m），则m｜（a-b）.

　　2. a≡a（mod，m）.

　　3.如果a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.

　　4.如果 a≡b（mod m），b≡c（mod m），则 a≡c（mod m）.

　　5.如果a≡b（mod m）， c≡d（mod m），

　　 则a＋c≡b＋d（mod m）， a—c≡b—d（mod m）.

　　6.如果 a≡b（mod m）， c≡d（mod m），

　　 则 a×c≡b×d（mod m）.

　　7.如果a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）.根据余数相同，可以对整数分类.例如一个整数a被3除时，余数只能有0、1、2这三种可能，因此所有整数可以分为3k、 3k+1、3k+2（ k为整数）这三种类型.

问题22.1 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数.

分析 用被除数减去余数.然后将其差分解质因数.

　　解310-37=273.

　　273=3×7×13.

　　考虑到所求的两位数（除数）要比37（余数）大，而3×13=39，7×13=91，因此所求的两位数为39或91.

问题22.2有一个77位数，它的各位数字都是1，这个数除以7，余数是多少？

分析 因为1001能被7整除，所以111111能被7整除.

解 因为 1001=7×11×13，而

　　111111= 100100+10010+1001，

　　所以，由六个数字1组成的六位数必定是7的倍数.

　　77÷6=12余5.

　　11111÷7=1587余2.

　　所以，这个77位数除以7的余数是2.

问题22.3 一个整数除300、262、205都得到相同的余数，且余数不为0.问这个整数是几？

分析 这个整数能整除300、262、205中任何两个数的差.

解 300-262=38=19×2，

　　262-205=57=9×3，

　　300-205=95=19×5.

　　因为所求整数是38、57、95的不为1的公约数，所以这个整数是19.

问题22.4 已知某数被5除的尾数是0.2，求这个数被5除的余数.

分析 尾数与除数之积等于余数.

解 5×0.2=1.所以，这个数被5除的余数为1.

问题22.5 一名养牛专业户，共有牛41头，他准备把这些牛分给3个农民去养，要求第一位农民养总数的1/2，第二位农民养总数的1/3，第三位农民养总数的1/7.由于牛的头数不是偶数，二分之一办不到，允许借一些牛来参加分，但借的牛分后要归还原主.问这三位农民各分几头牛？

分析 利用尾数及其尾数之和解题.

　　答：这三位农民各分得21头、14头、6头牛.

问题22.6求77被4除的余数.

分析 利用同余的性质.

　　解77=（72）3×7.

　　∵ 72≡1（mod 4），

　　（72）3≡13（mod 4）.

　　即（72）≡1（mod 4）.

　　又7≡（mod 4），

　　∴ （72）3×7≡1×3（mod 4）.

　　即 77≡3（mod 4）.

　　故77被4除的余数为3.

问题22.7 今天是星期日，再过364365天是星期几？再过365364天又是星期几？

分析 就是求364365、365364分别被7除的余数.

解 ∵364≡0（mod 7），

　　∴ 364365≡0（mod 7）.

　　∵ 365≡1（mod 7），

　　∴ 365364≡1（mod 7）.

　　因此，如果今天是星期日，那么再过364365天是星期日，再过365364天是星期一.

问题22.8 39865×48731=1382476895吗？为什么？

分析 在检验a×b=c是否正确时，可以看一看a×b与c对于模9是否同余，如果是同余，则 a×b有可能与c相等（当然也有可能不等），否则，a×b必不等于c.这种方法称为弃九法.

解 39865≡3＋9＋8＋6＋5≡4（mod 9），

　　48731≡4＋8＋7＋3＋1≡5（mod 9），

　　1382476895≡1＋3＋8＋2＋4＋7＋6＋8＋9+5

　　≡8（mod 9）.

　　∴ 39865×48731≠1382476895.

问题22.9 a、b都是整数，则a＋b，a-b，

　　a×b中至少有一个数是3的倍数.为什么？

分析 将所有整数分为3k，3k＋1， 3k+2（k为整数）进行讨论.

解 如果a、b中有一个是3的倍数，则a×b是3的倍数.

　　如果a、b都不是3的倍数，则有四种可能.（以下字母表示整数）

　　（1）当a=3m＋1，b=3n＋1时，

　　a－b＝3（ m-n），

　　∴ 3|（a-b）.

　　（2）当a=3m＋2，b=3n＋2时，

　　a-b＝3（m-n）,

　　∴ 3|（a-b）.

　　（3）当a=3m+1，b=3n＋2时，

　　a+b＝3（m＋n+1），

　　∴ 3|（a＋b）.

　　（4）当，a=3m+2，b=3n+1时，

　　a+b＝3（m＋n+1），

　　∴ 3|（a+b）.

　　综上所述，不论a、b为何整数，a+b，a-b，a×b中至少有一个数是3的倍数.

练习22

　　1.修改五位数31354的某一个数字， 可以得到654的倍数.问修改后的五位数是多少？

　　2.已知某数被8除的尾数是0.5，求这个数被8除的余数.

　　3.求乘积15×38×412×541除以13所得的余数.

　　4.142857×514876302=7355368387484吗？为什么？

　　5.已知1991年7月1日是星期一，那么2000年10月1日是星期几？

　　6.有5个不同的自然数，它们当中任意3个的和是3的倍数，任意4个的和是4的倍数，为了使这5个数的和尽可能地小，这5个数分别是什么？