和差问题

问题11.1 ○＋△＝84，○－△＝48，○＝？△＝？

问题11.2 两质数之和是28、之差是6，这两质数各是多少？

问题11.3 某日，白天比黑夜长6小时，问这一天白天、黑夜各有几小时？

　　请你分析一下，这三个题目中数量关系的共同特征是什么？(已知两个数的和与差，求这两个数.)

　　类似上述三道题的数学问题，称“和差问题”.

　　和差问题的基本数量关系式如下：

　　(和＋差)÷2＝大数

　　(和－差)÷2＝小数

　　你能独立解答问题11.1、11.2、11.3吗？

　　分析与解答和差问题的思路很多，现列举且分述如下：

　　题眼法.题眼，就是析题解题的关键处或突破口.分析题意时，抓题眼“两数和”及“两数差”.如果“和”或“差”未直接告诉，则应先予以确定并分清哪个是大数，哪个是小数，然后利用数量关系式便可求解.

问题11.4 分数单位相同的甲、乙两数，相加结果为1，甲数比乙数

　　分析　该题求甲、乙两分数各是多少.据条件知，所求两分数之和为1、之差为1/3，乙数是小数，甲数是大数.运用数量关系式求解.

　　将等高不等底的两直角梯形纸板，粘接成(无重叠部分)一块长5分米、宽3分米的长方形纸板.已知小梯形纸板上下底的和比大梯形上下底的和少4分米，大、小梯形两纸板面积分别是多少平方分米？

分析与提示 该题求大、小梯形两纸板面积分别是多少.如果知其面积“差”与面积“和”，便可运用和差问题的数量关系式直接求解.据条件，面积和间接知道(即求长方形面积)，而面积差不易求，此思路暂时不通.

　　据条件又知大、小两梯形上下底和的差，大、小两梯形上下底和的“和”，即为长方形的2个长，从而可分别求出大、小两梯形上、下底的和；大、小两梯形的高，就是长方形的宽，由此，根据梯形面积＝(上底＋下底)×高÷2的公式，可分别求出大、小两梯形纸板的面积.

　　至此，你能列式求解吗？

　　小李和小王共储蓄2000元，如果小李借给小王200元，两人储蓄的钱恰好相等，问两人各储蓄多少元？

　　请思考：两人储蓄钱的和是2000元，储蓄钱的差是200元吗？

　　请自己列式解答问题11.1、11.2、11.3、11.5、11.6各题.

　　有1元和5元的人民币共17张，合计49元，两种面值的人民币各有多少张？

　　分析 该题求两种面值的人民币各有多少张.已知总张数17张，但两种人民币张数相差多少难以确定，怎么办？

　　再分析题意，又知两种面值的人民币的总钱数，及各自的票面值，但两种人民币相差的钱数也难以确定，这又怎么办？

　　我们可用“假设法”思考.假设17张人民币全是5元的，总钱数则为5×17＝85(元)，比实际的49元多出85－49＝36(元).多的原因是把1元的人民币假设为5元的人民币了.用数量关系式表示为：

　　根据这一数量关系式，可先求1元人民币的张数.

　　17－9＝8(张)

　　验算：1×9＋5×8＝49(元).

　　答：1元人民币9张，5元人民币8张.

　　也可以假设17张人民币全是1元的，便可有另一解法.

　　解法 2(49－1×17)÷(5－1)

　　你能说出解法1与解法2的综合算式每一步的意义是什么吗？

　　自己求出解法2的结果，且与解法1相对照，答案一样吗？

　　请你观察、比较、分析且归纳问题11.6与问题11.7的数量关系及其解答方法有什么异同？

　　问题11.6与问题11.7都属和差问题.

　　但问题11.6中已知或未知的数量是同类量，可运用和差问题的数量关系式求解；而问题11.7含三种有联系的不同类量(票面值、总值、钱的张数)，且所求两数的差难以确定，解答时须通过假设分析法(从假定的条件入手分析题意)，将和差问题转化为“两个差问题”(利用两个相关联的差求未知数)求解.

　　100名师生参加植树，老师每人栽3棵，学生每2人栽1棵，总共植树100棵.问老师和学生各有多少人？

　　请你按问题11.7的解析法，解答本题.

　　提示：可假设老师每人植树的棵树与学生同样多(学生每2人植一棵.即每人植1÷2＝0.5棵)，

　　或假设学生每人植树与老师每人植树同样多.

　　对较复杂的和差问题还可以用图解法，即把数学题的条件和问题用示意图表示出来，使其数量关系具体化、形象化，以帮助我们理解题意，找到合理的解题途径.

　　两缸金鱼共46尾，若甲缸再放入5尾，乙缸取出2尾，这时乙缸仍比甲缸多3尾，甲、乙两缸原有金鱼多少尾？

　　分析 这题的数量关系比较复杂，可先画线段图(图11－1)，使其数量关系明朗化.

　　从图11－1可以看出，甲、乙两缸原有金鱼尾数相差5＋3＋2＝10(尾).用数量关系式表达为：

　　现在知甲、乙两缸原有金鱼尾数之差，原题又告诉原两缸金鱼尾数之和，此时有如下求解方法：

　　46—28＝18(尾).

　　答：甲缸原有金鱼18尾，乙缸原有28尾.

　　从图11－1也可以看出，甲缸放入5尾，乙缸取出2尾后，原两缸金鱼总尾数同时发生了变化，即为

　　46＋5—2＝49(尾).

　　原题告诉甲、乙两缸放入或取出金鱼后，乙缸仍比甲缸多3尾.现在知放入或取出后，两缸金鱼尾数之和及相差数.此时又有另一种求解方法：

　　解法2

　　(1)甲缸放入5尾后金鱼的尾数：

　　［(46＋5－2)－3］÷2＝23(尾).

　　(2)甲缸原有金鱼的尾数： 23－5＝18(尾).

　　(3)乙缸原有金鱼的尾数：23＋3＋2＝28(尾).

　　答：略.

　　请你再观察图11－1，自己寻找新的解法.

　　用144分米长的铁丝围成一个长方体框架(如图：11－2).一只蚂蚁从顶点A出发，沿棱爬行，经顶点B、C，到达D.已知蚂蚁每分钟爬行6分米，经BC比AB多用1分钟，经CD比BC少用2分钟.这个长方体框架的长、宽、高各是多少分米？

　　分析 已知蚂蚁每分钟爬行6分米.经BC比AB多用1分钟，可知BC比AB长6分米(6×1＝6)；经CD比BC少用2分钟，可知CD比BC短12分米(6×2＝12).

　　又知长方体框架棱长和为144分米，AB、BC、CD分别为长方体的长、宽、高.可知AB、BC、CD长度和为144÷4＝36(分米).

　　现以线段图表示AB、BC、CD长度间数量的关系.如图11－3.

　　由图11－3知AB、CD的长度均与 BC有直接联系.如以BC的长为标准，则：3条线段总长＋6＋12(分米)相当于BC的3倍.由此可求BC的长，AB、CD的长也将迎刃而解了.

　　至此，你能列式求解了吗？

　　同学们，解析和差问题的思路还很多.解题时，应根据题意灵活选用较简捷的解析方法.

练 习11

　　1.长方形操场的长与宽相差40米，某同学沿操场边跑了3圈，共1200米.这个操场的长和宽各是多少米？

　　2.某粮食仓库存大米和面粉共2000袋，现从仓库往粮店运粮，每天运时大米比面粉多30袋，10天以后，仓库所剩的大米和面粉的袋数相等.仓库原有大米和面粉各多少袋？

　　3.玲玲在邮电局买面值为40分和80分的纪念邮票共9张，付钱6元，她买的两种面值的邮票各是多少张？

　　4.实验小学五年级 4个班共200名学生，一班比二班多2人，二班比三班少4人，四班与一班人数同样多，四个班各有多少名学生？

　　5.两车站相距110千米，甲、乙两轿车分别从两站同时相向而行，经1小时可以相遇；如果同向而行，甲车经11小时可以追上乙车.两车每小时各行多少千米？