有 趣 的 数 阵
数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵可分为辐射型和封闭型两种.填数阵时，一般优先考虑正中间的数或顶角上的数.
问题9.1 把1～9九个数分别填入图9-1中九个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都相等.
分析 从图9-1中可以看出，中间圆圈所填的数是四条直线上公用的，它是一个用了4次的数.因此，我们在思考时，应先把中间圆圈内的数填出来.怎样确定这个数呢？
设中间圆圈内的数为x，在计算四条直线上数的总和时，它多加了3次，又因为四条直线上的数的总和是4的倍数，所以
1+2+3+…+7+8+9+3x=45+3x
应能被4整除，这样x只能是1、5、9.
当中间圆圈填1时，每条直线上三个数的和是12；当中间圆圈填5时，每条直线上三个数的和是15；当中间圆圈填9时，每条直线上三个数的和是18.这样就可以正确地填出结果了.
解 适合题目要求的填法共有以下三种：
问题9.2 图9-2是一个六角星，把1～12这12个数填在六角星的○内(每个数字只许用一次).现在已经填入了六个数，其它六个○内填什么数才能使每条边上四个数的和都相等？
分析 图9-2中共有12个圆圈，每个圆圈都恰好有两条直线通过.因此，在计算六条直线上数的总和时，每个圆圈内的数都计算了两次.而(1+2+3+…+11+12)×2=156，所以每条直线上四个数的和应是156÷6=26.先填出图中A、B、C三个圆圈中的数，其余的三个圆圈内的数就不难填出了.
解 见图9-3.
问题9.3 在图9-4(1)中，同一个圆圈内四个数的和都是15.请在图(2)中的空白部分填上适当的数(2、3、5、7)，使每个圆圈内四个数的和仍然等于15.
分析 根据圆圈已有的数字4、6和1.可以肯定中间空白部分填的数必然大于1而小于5.符合这个条件的只有2和3.如果中间数是2.那么4+1+2+7＜15，不符合题意.所以中间数应是3，这样就可以很快填出其它数了.
解 填法如图9-5.
问题9.4 把1～8这八个数分别填入图9-6中的八个○内，使每个圆圈上五个数的和都等于21.
分析 设两个圆交叉点上的两个○内各填的数是a、b，那么，在计算两个大圆周上10个数的和时，a和b都多加了一次，根据题目的要求，1+2+3+…+7+8+a+b=36+(a+b)除以2应是21，所以a+b=6.但在1～8这8个数中，只有1+5=6、2+4=6两种情况.如果中间两个○内分别填1和5，另外同一圆周上三个○内的数的和应是21-(1+5)=15.在2、3、4、6、7、8这六个数中三个数之和是15的只有2+6+7=15、3+4+8=15两种.如果中间两个○填2和4，其它的数可分为两组1、6、8和3、5、7.因此，可得出如上所述的四种填法.
解 略.
问题9.5 用1～9这九个数字填入图9-7的○内.使三角形的每条边上四个数的和部等于17，或19、20、21、23.除上述数外，还可能等于其它数吗？
分析 如果三角形每条边上四个数的和是17.那么三条边上的数字的和就是17×3=5l，但1+2+3+…+9=45、51-45=6，这是因为三个顶点上的数字都计算了两次，所以可以肯定.三个顶点的数的和是6.而和为6的三个数只能是1、2、3.各边上另两个数的填法就不难推算了.
至于和为19、20、21、23的填法与上述和为17的分析方法相类似，请同学自己完成.
另：除17、19、20、21、23以外，要使三角形每条边上四个数的和都相等，不能有其它数.
解 略
问题9.6 请你在图9-8的4×4方格中填上适当的数字，使图中每条直线上的四个数字之和都相等.
分析 要使图中每条直线上的四个数字之和都相等，那么每一行、每一列及两对角线上的四个数字只能是1、9、8、3，并且每一个数字在同一直线上只能出现一次.根据这一特点，可以采取尝试推导法，逐步填出图中各空格上的数.
如图9-8(2)，A格中只能填8或3，若A格填8，则B格只能填3或9，尝试B格只能填3，这样C格必须填9，D格只能填1，E、F两格应分别填8、1.至此，剩下的空格便可顺利填出了.
如果A格中填3，仿上采用尝试推导法，也可得到另一填法(略).
解 符合条件的一种填法如图9-9.
练 习 9
1.把1～6六个数字分别填入图9-10中的六个○内，使每条边上三个○内数字和相等.
2.将1～8八个数分别填入图9-11中的八个空格中，使图中四边正好组成加、减、乘、除四种运算.
3.把2～10这九个数分别填入图9-12中的圆圈内，使每条线段上三个数的和都是15.
4.把1～12这十二个数分别填入图9-13中，使每一行、每一列四个数的和都是26，四个正方形、四个△和四个○内的数字之和也都等于26.
5.将1～8这八个数填入图9-14中的八个顶点处的○内，使每个面上的四个○内的数字之和都等于18.
6.试将1～9这九个数字分别填入图9-5中的九个小三角形内.使每条边上的五个小三角形内所填的数之和都相等，问这个和的最小值是多少？最大值是多少？